Ролова теорема

У анализи, грани математике, Ролова теорема тврди да ако је реална функција, непрекидна на затвореном интервалу , диференцијабилна на отвореном интервалу , и ако је , тада постоји тачка из отвореног интервала , таква да је .^[1]

Геометријска интерпретација Ролове теореме: Ако функција задовољава услове теореме (непрекидна на интервалу , и диференцијабилна на интервалу ), тада постоји тачка , у интервалу , таква да је тангента функције у тој тачки водоравна.

Доказ

Нека је . Како је функција непрекидна на одсечку , то она на том одсечку достиже бар једанпут своју највећу вредност и своју најмању вредност . Ако је , тада је функција константна на посматраном интервалу, па је њен извод свуда једнак нули на посматраном интервалу. Ако је различито од , бар један од тих бројева је различит . Нека је, без смањења општости, различит од . Дакле, функција има локални екстремум у некој тачки , па је, на основу Фермаове теореме, . Овим је теорема доказана.