Кошијева теорема о средњој вредности

Кошијева теорема је теорема средње вредности, и представља уопштење Лагранжове теореме. Названа је по математичару Огистену Лују Кошију.^[1]

Формулација

Кошијева теорема се прецизно формулише на следећи начин:

Ако су функције ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$:

• непрекидне на затвореном интервалу ${\displaystyle [a,b]}$ ,
• диференцијабилне на отвореном интервалу ${\displaystyle (a,b)}$, и
• ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$

тада постоји тачка ${\displaystyle c\in (a,b)}$, за коју важи ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}$

Доказ

Дефинишимо функцију:

${\displaystyle h(x)=f(x)-f(a)-({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}})(g(x)-g(a)))}$

Како је функција ${\displaystyle f}$ непрекидна и диференцијаблна на интервалу ${\displaystyle [a,b]}$, односно ${\displaystyle (a,b)}$, и функција ${\displaystyle h}$ је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више, ${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$, што значи да на функцију ${\displaystyle h}$ можемо применити Ролову теорему.

${\displaystyle h'(x)=f'(x)-({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}})g'(x)}$

Из претходног објашњења следи

${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}})g'(c)}$,

а одавде следи и тврђење теореме:

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}=({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}})}$

Напомене

• Кошијева теорема је уопштење Лагранжове теореме, јер за ${\displaystyle g(x)=x}$ добијамо тврђење управо те теореме.