Мултипликативна функција

Мултипликативна функција је, у теорији бројева, аритметичка функција ${\displaystyle f}$ позитивног целог броја ${\displaystyle n}$ са својством да је ${\displaystyle f(1)=1}$ и $${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$$ кад год су ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ узајамно прости.

Аритметичка функција се назива потпуно мултипликативном (или тотално мултипликативном) ако је ${\displaystyle f(1)=1}$ и ако ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$ важи за све позитивне целе бројеве ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, чак и када нису узајамно прости.

Примери

Неке мултипликативне функције дефинисане су тако да олакшају писање формула:

• ${\displaystyle 1(n)}$: константна функција дефинисана са ${\displaystyle 1(n)=1}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} (n)}$: идентична функција, дефинисана са ${\displaystyle \operatorname {Id} (n)=n}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)}$: степенске функције, дефинисане са ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}$ за било који комплексан број ${\displaystyle k}$. Посебни случајеви су:

   *   ${\displaystyle \operatorname {Id} _{0}(n)=1(n)}$, и
   *   ${\displaystyle \operatorname {Id} _{1}(n)=\operatorname {Id} (n)}$.

• ${\displaystyle \varepsilon (n)}$: функција дефинисана са ${\displaystyle \varepsilon (n)=1}$ ако је ${\displaystyle n=1}$ и ${\displaystyle 0}$ иначе; ово је јединична функција, названа тако јер је мултипликативни идентитет за Дирихлеову конволуцију. Понекад се означава и са ${\displaystyle u(n)}$, што не треба мешати са ${\displaystyle \mu (n)}$.
• ${\displaystyle \lambda (n)}$: Лијувилова функција, ${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$, где је ${\displaystyle \Omega (n)}$ укупан број простих фактора (рачунатих са вишеструкошћу) који деле ${\displaystyle n}$.

Све горе наведене функције су потпуно мултипликативне.

• ${\displaystyle 1_{C}(n)}$: индикаторска функција скупа ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {Z} }$. Ова функција је мултипликативна тачно онда када је скуп ${\displaystyle C}$ затворен у односу на множење узајамно простих елемената. Постоје и други скупови (који нису затворени под множењем) који дају такве функције, као што је скуп бесквадратних бројева.

Други примери мултипликативних функција укључују многе функције од значаја у теорији бројева, као што су:

• ${\displaystyle \gcd(n,k)}$: највећи заједнички делилац бројева ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle k}$, као функција од ${\displaystyle n}$, где је ${\displaystyle k}$ фиксиран цео број.
• ${\displaystyle \varphi (n)}$: Ојлерова фи функција, која броји позитивне целе бројеве узајамно просте са ${\displaystyle n}$ (али не веће од ${\displaystyle n}$).
• ${\displaystyle \mu (n)}$: Мебијусова функција, парност (${\displaystyle -1}$ за непаран, ${\displaystyle +1}$ за паран) броја простих фактора бесквадратних бројева; ${\displaystyle 0}$ ако ${\displaystyle n}$ није бесквадратан.
• ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$: делитељска функција, која је збир ${\displaystyle k}$-тих степена свих позитивних делитеља броја ${\displaystyle n}$ (где ${\displaystyle k}$ може бити било који комплексан број). Посебни случајеви су:

   *   ${\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}$, број позитивних делитеља броја ${\displaystyle n}$,
   *   ${\displaystyle \sigma _{1}(n)=\sigma (n)}$, збир свих позитивних делитеља броја ${\displaystyle n}$.

• ${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)}$: збир ${\displaystyle k}$-тих степена свих унитарних делитеља броја ${\displaystyle n}$:

   ${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)\,=\!\!\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!\!d^{k}}$

• ${\displaystyle a(n)}$: број неизоморфних абелових група реда ${\displaystyle n}$.
• ${\displaystyle \gamma (n)}$, дефинисана са ${\displaystyle \gamma (n)=(-1)^{\omega (n)}}$, где је адитивна функција ${\displaystyle \omega (n)}$ број различитих простих бројева који деле ${\displaystyle n}$.
• ${\displaystyle \tau (n)}$: Рамануџанова тау функција.
• Сви Дирихлеови карактери су потпуно мултипликативне функције, на пример:

   *   ${\displaystyle (n/p)}$, Лежандров симбол, посматран као функција од ${\displaystyle n}$ где је ${\displaystyle p}$ фиксиран прост број.

Пример немултипликативне функције је аритметичка функција ${\displaystyle r_{2}(n)}$, број представљања броја ${\displaystyle n}$ као збира квадрата два цела броја, позитивна, негативна, или нула, где је при бројању начина дозвољено обртање редоследа. На пример:

1 = 1² + 0² = (−1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (−1)²

и стога је ${\displaystyle r_{2}(1)=4\neq 1}$. Ово показује да функција није мултипликативна. Међутим, ${\displaystyle r_{2}(n)/4}$ јесте мултипликативна.

У Онлајн енциклопедији целобројних низова, низови вредности мултипликативне функције имају кључну реч "mult".^[1]

Видети аритметичка функција за неке друге примере немултипликативних функција.

Особине

Мултипликативна функција је у потпуности одређена својим вредностима на степенима простих бројева, што је последица основне теореме аритметике. Дакле, ако је n производ степена различитих простих бројева, рецимо n = p^a q^b ..., онда је f(n) = f(p^a) f(q^b) ...

Ова особина мултипликативних функција значајно смањује потребу за рачунањем, као у следећим примерима за n = 144 = 2⁴ · 3²: $${\displaystyle d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15}$$ $${\displaystyle \sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403}$$ $${\displaystyle \sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170}$$

Слично, имамо: $${\displaystyle \varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=(2^{4}-2^{3})(3^{2}-3^{1})=(16-8)(9-3)=8\cdot 6=48}$$

Уопштено, ако је f(n) мултипликативна функција и a, b су било која два позитивна цела броја, онда је

f(a) · f(b) = f(нзд(a,b)) · f(нзс(a,b)).

Свака потпуно мултипликативна функција је хомоморфизам моноида и у потпуности је одређена својом рестрикцијом на просте бројеве.

Конволуција

Ако су f и g две мултипликативне функције, дефинише се нова мултипликативна функција ${\displaystyle f*g}$, Дирихлеова конволуција функција f и g, са $${\displaystyle (f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)}$$ где се сума протеже преко свих позитивних делитеља d броја n. Са овом операцијом, скуп свих мултипликативних функција постаје абелова група; идентични елемент је ε. Конволуција је комутативна, асоцијативна и дистрибутивна у односу на сабирање.^{[тражи се извор]}

Релације међу горе наведеним мултипликативним функцијама укључују:

• ${\displaystyle \mu *1=\varepsilon }$ (Мебијусова инверзиона формула)
• ${\displaystyle (\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon }$ (генерализована Мебијусова инверзија)
• ${\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} }$
• ${\displaystyle d=1*1}$
• ${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d}$
• ${\displaystyle \sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} =\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu }$

Дирихлеова конволуција се може дефинисати за опште аритметичке функције, и даје структуру прстена, Дирихлеовог прстена.

Дирихлеова конволуција две мултипликативне функције је поново мултипликативна.^{[тражи се извор]} Доказ ове чињенице дат је следећим развојем за узајамно просте ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}}$$

Дирихлеов ред за неке мултипликативне функције

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

Више примера је приказано у чланку о Дирихлеовим редовима.

Рационалне аритметичке функције

Аритметичка функција f се назива рационалном аритметичком функцијом реда ${\displaystyle (r,s)}$ ако постоје потпуно мултипликативне функције g₁,...,g_r, h₁,...,h_s такве да је $${\displaystyle f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},}$$ где су инверзи у односу на Дирихлеову конволуцију. Рационалне аритметичке функције реда ${\displaystyle (1,1)}$ познате су као тотијент функције, а рационалне аритметичке функције реда ${\displaystyle (2,0)}$ као квадратне или специјално мултипликативне функције. Ојлерова функција ${\displaystyle \varphi (n)}$ је тотијент функција, а делитељска функција ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ је квадратна функција.

Потпуно мултипликативне функције су рационалне аритметичке функције реда ${\displaystyle (1,0)}$. Лијувилова функција ${\displaystyle \lambda (n)}$ је потпуно мултипликативна. Мебијусова функција ${\displaystyle \mu (n)}$ је рационална аритметичка функција реда ${\displaystyle (0,1)}$. По конвенцији, идентитетски елемент ${\displaystyle \varepsilon }$ под Дирихлеовом конволуцијом је рационална аритметичка функција реда ${\displaystyle (0,0)}$.

Све рационалне аритметичке функције су мултипликативне. Мултипликативна функција f је рационална аритметичка функција реда ${\displaystyle (r,s)}$ ако и само ако је њен Белов ред облика $${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}$$ за све просте бројеве ${\displaystyle p}$.

Концепт рационалне аритметичке функције потиче од Р. Ваидјанатасвамија (1931).

Буше-Рамануџанови идентитети

Мултипликативна функција ${\displaystyle f}$ се назива специјално мултипликативном ако постоји потпуно мултипликативна функција ${\displaystyle f_{A}}$ таква да је

${\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^{2})f_{A}(d)}$

за све позитивне целе бројеве ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, или еквивалентно

${\displaystyle f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_{A}(d)}$

за све позитивне целе бројеве ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, где је ${\displaystyle \mu }$ Мебијусова функција. Ово су познати као Буше-Рамануџанови идентитети.

Године 1906, Е. Буше је навео идентитет

${\displaystyle \sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(mn/d^{2})d^{k},}$

а 1915, С. Рамануџан је дао инверзни облик

${\displaystyle \sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(m/d)\sigma _{k}(n/d)\mu (d)d^{k}}$

за ${\displaystyle k=0}$. С. Човла је дао инверзни облик за опште ${\displaystyle k}$ 1929. године. Проучавање Буше-Рамануџанових идентитета почело је покушајем да се боље разумеју посебни случајеви које су дали Буше и Рамануџан.

Познато је да квадратне функције ${\displaystyle f=g_{1}\ast g_{2}}$ задовољавају Буше-Рамануџанове идентитете са ${\displaystyle f_{A}=g_{1}g_{2}}$. Квадратне функције су потпуно исте као и специјално мултипликативне функције. Тотијенти задовољавају ограничен Буше-Рамануџанов идентитет.

Мултипликативна функција над F q [ X ] {\displaystyle F_{q}[X]}

Нека је ${\displaystyle A=F_{q}[X]}$, прстен полинома над коначним пољем са q елемената. A је домен главних идеала и стога је A домен јединствене факторизације.

Комплексно-вредносна функција ${\displaystyle \lambda }$ на A назива се мултипликативном ако је ${\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}$ кад год су f и g узајамно прости.

Зета функција и Дирихлеов ред у ${\displaystyle F_{q}[X]}$

Нека је h аритметичка функција полинома (тј. функција на скупу моничних полинома над A). Њен одговарајући Дирихлеов ред дефинише се као

$${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ моничан}}}h(f)|f|^{-s},}$$

где за ${\displaystyle g\in A,}$ поставимо ${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$ ако је ${\displaystyle g\neq 0,}$ и ${\displaystyle |g|=0}$ иначе.

Полиномна зета функција је тада

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ моничан}}}|f|^{-s}.}$$

Слично као у случају ${\displaystyle \mathbb {N} }$, сваки Дирихлеов ред мултипликативне функције h има производну репрезентацију (Ојлеров производ):

$${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n=0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),}$$

где се производ протеже преко свих моничних иредуцибилних полинома P. На пример, производна репрезентација зета функције је као за целе бројеве:

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}$$

За разлику од класичне зета функције, ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$ је једноставна рационална функција:

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

На сличан начин, ако су f и g две аритметичке функције полинома, дефинише се f * g, Дирихлеова конволуција функција f и g, са

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}}$$

где се сума протеже преко свих моничних делитеља d од m, или еквивалентно преко свих парова (a, b) моничних полинома чији је производ m. Идентитет ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$ и даље важи.

Генерализације

Аритметичка функција ${\displaystyle f}$ је квазимултипликативна ако постоји ненулта константа ${\displaystyle c}$ таква да је ${\displaystyle c\,f(mn)=f(m)f(n)}$ за све позитивне целе бројеве ${\displaystyle m,n}$ са ${\displaystyle (m,n)=1}$. Овај концепт потиче од Лахирија (1972).

Аритметичка функција ${\displaystyle f}$ је семимултипликативна ако постоји ненулта константа ${\displaystyle c}$, позитиван цео број ${\displaystyle a}$ и мултипликативна функција ${\displaystyle f_{m}}$ таква да је ${\displaystyle f(n)=cf_{m}(n/a)}$ за све позитивне целе бројеве ${\displaystyle n}$ (под конвенцијом да је ${\displaystyle f_{m}(x)=0}$ ако ${\displaystyle x}$ није позитиван цео број). Овај концепт је дело Дејвида Ририка (1966).

Аритметичка функција ${\displaystyle f}$ је Селбергова мултипликативна ако за сваки прост број ${\displaystyle p}$ постоји функција ${\displaystyle f_{p}}$ на ненегативним целим бројевима са ${\displaystyle f_{p}(0)=1}$ за све осим коначно много простих бројева ${\displaystyle p}$ таква да је ${\displaystyle f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))}$ за све позитивне целе бројеве ${\displaystyle n}$, где је ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ експонент од ${\displaystyle p}$ у канонској факторизацији од ${\displaystyle n}$. Погледати Селберг (1977).

Познато је да се класе семимултипликативних и Селбергових мултипликативних функција поклапају. Обе задовољавају аритметички идентитет ${\displaystyle f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])}$ за све позитивне целе бројеве ${\displaystyle m,n}$. Погледати Хауканен (2012).

Добро је познато и лако се види да су мултипликативне функције квазимултипликативне функције са ${\displaystyle c=1}$ и да су квазимултипликативне функције семимултипликативне функције са ${\displaystyle a=1}$.

Види још

• Ојлеров производ
• Белова серија
• Ламбертова серија