Хомоморфизам

Хомоморфизам (од грч. - исти, грч. - облик, форма) у математици представља пресликавање између две алгебарске структуре истог типа, које чува њихову форму.

Особине

Нека су ${\displaystyle (M,\cdot )}$ и ${\displaystyle (K,\times )}$ две алгебарске структуре истог типа (група, поље, моноид итд.). Ако је пресликавање ${\displaystyle f:M\rightarrow K}$ хомоморфизам а ${\displaystyle a,b\in M}$ важиће:

${\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\times f(b)}$

Врсте хомоморфизама

• Изоморфизам је бијективни хомоморфизам. Два објекта су изоморфна ако постоји изоморфизам између њих. Изоморфни објекти су потпуно неразазнатљиви што се тиче структуре која је у питању.

• Епиморфизам је сурјективни хомоморфизам.

• Мономорфизам је инјективни хомоморфизам.

• Хомоморфизам са неког објекта на самог себе се зове ендоморфизам.

• Ендоморфизам који је и изоморфизам се зове аутоморфизам.

У ширем контексту пресликавања која чувају структуру, начелно није довољно дефинисати изоморфизам као бијективни морфизам. Потребан услов је и да је инверзни морфизам истог типа. У алгебарским условима, овај додатни услов је аутоматски задовољен.

Односи између различитих врста хомоморфизама.
H = скуп хомоморфизама, = скуп мономорфизама,
P = скуп епиморфизама, = скуп изоморфизама,
N = скуп ендоморфизама, = скуп аутоморфизама.
Приметити да: , док класе
и могу бити непразне једино у случају бесконачних група.

Литература

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra. McGraw-Hill; 1st edition (June 1, ). ISBN 978-0-07-002655-1.

Види још

• Хомеоморфизам