Неједнакост Минковског

У математичкој анализи, неједнакост Минковског утврђује да ${\displaystyle L^{p}}$ простори задовољавају неједнакост троугла у дефиницији нормираних векторских простора. Неједнакост је названа по немачком математичару Херману Минковском.

Нека је ${\textstyle S}$ простор са мером, нека је ${\textstyle 1\leq p\leq \infty }$ и нека су ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$ елементи ${\textstyle L^{p}(S).}$ Тада је ${\textstyle f+g}$ у ${\textstyle L^{p}(S),}$ и имамо неједнакост троугла

$${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$

са једнакошћу за ${\textstyle 1<p<\infty }$ ако и само ако су ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$ позитивно линеарно зависни; то јест, ${\textstyle f=\lambda g}$ за неко ${\textstyle \lambda \geq 0}$ или ${\textstyle g=0.}$ Овде је норма дата са:

$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}}$$

ако је ${\textstyle p<\infty ,}$ или у случају ${\textstyle p=\infty }$ есенцијалним супремумом

$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}$$

Неједнакост Минковског је неједнакост троугла у ${\textstyle L^{p}(S).}$ У ствари, то је посебан случај општије чињенице

$${\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$$

где је лако видети да десна страна задовољава неједнакост троугла.

Као и Хелдерова неједнакост, неједнакост Минковског се може специјализовати за низове и векторе коришћењем мере пребројавања:

$${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}\leq {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}+{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$

за све реалне (или комплексне) бројеве ${\textstyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}}$ и где је ${\textstyle n}$ кардиналност скупа ${\textstyle S}$ (број елемената у ${\textstyle S}$).

У терминима вероватноће, за дати простор вероватноће ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),}$ и где ${\displaystyle \mathbb {E} }$ означава оператор очекивања, за сваку реалну или комплексно вредновану случајну променљиву ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ на ${\displaystyle \Omega ,}$ неједнакост Минковског гласи

${\displaystyle \left(\mathbb {E} [|X+Y|^{p}]\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\mathbb {E} [|X|^{p}]\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\mathbb {E} [|Y|^{p}]\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Доказ

Доказ помоћу Хелдерове неједнакости

Прво, доказујемо да ${\textstyle f+g}$ има коначну ${\textstyle p}$-норму ако је имају и ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$, што следи из

$${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$$

Заиста, овде користимо чињеницу да је ${\textstyle h(x)=|x|^{p}}$ конвексна функција над ${\textstyle \mathbb {R} ^{+}}$ (за ${\textstyle p>1}$) и тако, по дефиницији конвексности,

$${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.}$$

Ово значи да

$${\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}$$

Сада можемо легитимно говорити о ${\textstyle \|f+g\|_{p}}$. Ако је нула, онда неједнакост Минковског важи. Сада претпостављамо да ${\textstyle \|f+g\|_{p}}$ није нула. Користећи неједнакост троугла, а затим Хелдерову неједнакост, налазимо да

$${\displaystyle {\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Хелдерова неједнакост}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}}$$

Добијамо неједнакост Минковског множењем обе стране са

$${\displaystyle {\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.}$$

Доказ директним аргументом конвексности

За дато ${\displaystyle t\in (0,1)}$, имамо, по конвексности (Јенсенова неједнакост), за свако ${\displaystyle x\in S}$

${\displaystyle |f(x)+g(x)|^{p}={\Bigl |}(1-t){\frac {f(x)}{1-t}}+t{\frac {g(x)}{t}}{\Bigr |}^{p}\leq (1-t){\Bigl |}{\frac {f(x)}{1-t}}{\Bigr |}^{p}+t{\Bigl |}{\frac {g(x)}{t}}{\Bigr |}^{p}={\frac {|f(x)|^{p}}{(1-t)^{p-1}}}+{\frac {|g(x)|^{p}}{t^{p-1}}}.}$

Интеграцијом ово води до

${\displaystyle \int _{S}|f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{(1-t)^{p-1}}}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu +{\frac {1}{t^{p-1}}}\int _{S}|g|^{p}\,\mathrm {d} \mu .}$

Затим се узима

${\displaystyle t={\frac {\Vert g\Vert _{p}}{\Vert f\Vert _{p}+\Vert g\Vert _{p}}}}$

да би се дошло до закључка.

Интегрална неједнакост Минковског

Претпоставимо да су ${\textstyle (S_{1},\mu _{1})}$ и ${\textstyle (S_{2},\mu _{2})}$ два сигма-коначна простора са мером и да је ${\textstyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ мерљива функција. Тада интегрална неједнакост Минковског гласи:^[1][2]

$${\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),\quad p\in [1,\infty )}$$

са очигледним модификацијама у случају ${\textstyle p=\infty .}$ Ако је ${\textstyle p>1,}$ и обе стране су коначне, онда једнакост важи само ако је ${\textstyle |F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)}$ скоро свуда за неке ненегативне мерљиве функције ${\textstyle \varphi }$ и ${\textstyle \psi }$.

Ако је ${\textstyle \mu _{1}}$ мера пребројавања на двотачкастом скупу ${\textstyle S_{1}=\{1,2\},}$ тада интегрална неједнакост Минковског даје уобичајену неједнакост Минковског као посебан случај: за ${\textstyle f_{i}(y)=F(i,y)}$ за ${\textstyle i=1,2,}$ интегрална неједнакост даје

$${\displaystyle \|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.}$$

Ако је мерљива функција ${\textstyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ ненегативна, онда за све ${\textstyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$^[3]

$${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .}$$

Ова нотација је генерализована на

$${\displaystyle \|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}}$$

за ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,}$ са ${\textstyle {\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.}$ Користећи ову нотацију, манипулација експонентима открива да, ако је ${\textstyle p<q,}$ онда је ${\textstyle \|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}}$.

Обратна неједнакост

Када је ${\textstyle p<1}$, важи обратна неједнакост:

$${\displaystyle \|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.}$$

Даље нам је потребно ограничење да су и ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$ ненегативне, као што можемо видети из примера ${\textstyle f=-1,g=1}$ и ${\textstyle p=1}$

${\textstyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.}$

Обратна неједнакост следи из истог аргумента као и стандардна неједнакост Минковског, али користи чињеницу да је и Хелдерова неједнакост такође обрнута у овом опсегу.

Користећи обрнуту неједнакост Минковског, можемо доказати да су степенске средине са ${\textstyle p\leq 1,}$ као што су хармонијска средина и геометријска средина, конкавне.

Генерализације на друге функције

Неједнакост Минковског се може генерализовати на друге функције ${\textstyle \phi (x)}$ изван функције степена ${\textstyle x^{p}}$. Генерализована неједнакост има облик

$${\displaystyle \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).}$$

Различите довољне услове за ${\textstyle \phi }$ су пронашли Mulholland^[4] и други. На пример, за ${\textstyle x\geq 0}$ један скуп довољних услова од Mulholland-а је

1. ${\textstyle \phi (x)}$ је непрекидна и строго растућа са ${\textstyle \phi (0)=0.}$
2. ${\textstyle \phi (x)}$ је конвексна функција од ${\textstyle x.}$
3. ${\textstyle \log \phi (x)}$ је конвексна функција од ${\textstyle \log(x).}$

Види још

• Коши-Шварцова неједнакост
• Хелдерова неједнакост
• Малерова неједнакост
• Јангова неједнакост за конволуцију
• Јангова неједнакост за производе