Коши-Шварцова неједнакост

Коши-Шварцова неједнакост, позната и као неједнакост Коши-Шварц-Буњаковског, корисна је неједнакост која се примењује у многим областима математике као што су линеарна алгебра, анализа, теорија вероватноће и друге. Сматра се једном од најважнијих неједнакости у математици.^[1]

Неједнакост за суме открио је Огистен Луј Коши (1821), док је одговарајућу неједнакост за интеграле први доказао Виктор Буњаковски (1859). Интегралну неједнакост нешто касније је открио, независно од Буњаковског, и Херман Шварц (1888)^[1].

Исказ неједнакости

Коши-Шварцова неједнакост тврди да за све векторе ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ унитарног векторског простора важи

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$

где ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ представља унутрашњи производ. Еквивалентно, кореновањем обе стране претходне неједнакости, уз коришћење норме вектора, неједнакост се може записати у облику^[2][3]

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$

Специјално, једнакост важи ако и само ако су ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$ линеарно зависни (што значи да су паралелни: један од вектора ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ је нула вектор, или представља скаларни умножак другог).^[4][5]

Ако је ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$, и унутрашњи производ је стандардни комплексни унутрашњи производ, тада се неједнакост може експлицитно изразити на следећи начин (где црта изнад означава комплексну конјугацију):

${\displaystyle |u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}|^{2}\leq (|u_{1}|^{2}+\cdots +|u_{n}|^{2})(|v_{1}|^{2}+\cdots +|v_{n}|^{2}),}$

односно

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\bar {v}}_{i}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.}$

Докази

Први доказ

Нека су ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ произвољни вектори векторског простора над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ са унутрашњим производом, где је ${\displaystyle \mathbb {F} }$ поље реалних или комплексних бројева. Желимо да докажемо неједнакост

${\displaystyle {\big |}\langle u,v\rangle {\big |}\leq \|u\|\|v\|,}$

као и да једнакост важи ако и само ако је један од вектора ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ скаларни умножак другог (специјално, (бар) један од вектора је нула вектор).

Ако је ${\displaystyle v=0}$, јасно је да тада важи једнакост, а такође и да су ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ линеарно зависни (без обзира на вектор ${\displaystyle u}$), тако да закључујемо да у овом случају тврђење важи. Аналогно се показује за случај ${\displaystyle u=0}$. Претпоставимо стога да ${\displaystyle v}$ није нула вектор.

Нека је

${\displaystyle z=u^2 = \\frac{|\\langle u, v \\rangle|^2}{( \\|v\\|^2 )^2}\\,\\|v\\|^2 +\\|z\\|^2= \\frac{|\\langle u, v \\rangle|^2}{\\|v\\|^2} + \\|z\\|^2 \\geq \\frac{|\\langle u, v \\rangle|^2}{\\|v\\|^2},"}}' id="mwcg">$${\displaystyle \|u\|^{2}=\left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\right|^{2}\|v\|^{2}+\|z\|^{2}={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{(\|v\|^{2})^{2}}}\,\|v\|^{2}+\|z\|^{2}={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}+\|z\|^{2}\geq {\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}},}$

одакле, након множења са ${\displaystyle \|v\|^{2}}$ и узимања квадратног корена обе стране, добијамо Коши-Шварцову неједнакост. Додатно, ако у претходном изразу уместо ${\displaystyle \geq }$ важи једнакост, тада је ${\displaystyle \|z\|^{2}=0}$, односно ${\displaystyle z=0}$; тада нам дефиниција вектора ${\displaystyle z}$ даје линеарну зависност вектора ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$.

Са друге стране, ако су ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ линеарно зависни, тада постоји ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }$ тако да је ${\displaystyle u=\lambda \cdot v}$ (јер је ${\displaystyle v\neq 0}$). Тада имамо

${\displaystyle |\langle u,v\rangle |=|\langle \lambda \cdot v,v\rangle |=\left|\lambda \|v\|^{2}\right|=|\lambda |\|v\|^{2}=\|\lambda \cdot v\|\|v\|=\|u\|\|v\|.}$

Овиме је тврђење доказано.

Други доказ

Нека су ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ произвољни вектори унитарног векторског простора над ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

У специјалном случају ${\displaystyle v=0}$ тврђење тривијално важи. Претпоставимо сада да је ${\displaystyle v\neq 0}$. Нека је ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ дато са ${\displaystyle \lambda ={\frac {\langle u,v\rangle }{\|v\|^{2}}}}$. Тада је

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \|u-\lambda \cdot v\|^{2}\\&=\langle u,u\rangle -\langle \lambda \cdot v,u\rangle -\langle u,\lambda \cdot v\rangle +\langle \lambda \cdot v,\lambda \cdot v\rangle \\&=\langle u,u\rangle -\lambda \langle v,u\rangle u\|^{2\lambda {\overline {\langle u,v\rangle }{\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle +\lambda {\overline {\lambda }}\|v\|^{2}\\&=\|u\|^{2{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}+{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}\\&=\|u\|^{2{\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}.\end{aligned}}}$

Дакле, имамо да важи ${\displaystyle 0\leq \|u\|^{2}\langle u,v\rangle |^{2}}{\|v\|^{2}}}}$, oдносно ${\displaystyle |\langle u,v\rangle |\leq \|u\|\|v\|}$, што је и требало доказати.

Ако у претходној неједнакости заправо важи једнакост, онда је ${\displaystyle \|u-\lambda \cdot v\|=0}$, односно ${\displaystyle u-\lambda \cdot v=0}$, одакле следи да су ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ линеарно зависни. Са друге стране, ако су ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ линеарно зависни, тада се као у првом доказу добија да важи ${\displaystyle |\langle u,v\rangle |=\|u\|\|v\|}$.

Више доказа

Постоји још много различитих доказа Коши-Шварцове неједнакости.^[6] При разматрању других извора, често долази до забуне из два разлога. Прво, неки аутори дефинишу ⟨⋅,⋅⟩ као оператор који је линеаран по другом аргументу, уместо по првом. Друго, неки докази важе само у случају када се ради над пољем ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а не ${\displaystyle \mathbb {C} }$.^[7]

Специјални случајеви

Титуова лема

Титуова лема (названа по математичару имена Titu Andreescu, позната још и као Т2 лема, Енгелова форма, или Седракјанова неједнакост) тврди да за позитивне реалне бројеве важи

${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.}$

Ова лема је директна последица Коши-Шварцове неједнакости, добијена сменом ${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}}$ и ${\displaystyle v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.}$ Овај облик посебно је користан када се у неједнакости појављује разломак чији је бројилац потпун квадрат.

R² (стандардни дводимензионални простор)

У обичном дводимензионалном простору са скаларним производом, нека је ${\displaystyle u=(u_{1},u_{2})}$ и ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2})}$. Коши-Шварцова неједнакост тада има облик

${\displaystyle \langle u,v\rangle ^{2}=(\|u\|\|v\|\cos \theta )^{2}\leq \|u\|^{2}\|v\|^{2},}$

где је ${\displaystyle \theta }$ угао између вектора ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v.}$

Овај облик је вероватно и најједноставнији за разумевање неједнакости, с обзиром да квадрат косинуса може бити највише 1, а то се дешава када су вектори истог или супротног смера (дакле, када су линеарно зависни). Претходна неједнакост може се расписати и преко координата вектора ${\displaystyle u_{1},u_{2},v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$, чиме се добија

${\displaystyle (u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2})^{2}\leq (u_{1}^{2}+u_{2}^{2})(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}),}$

при чему једнакост важи ако и само ако је вектор ${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$ истог или супротног смера у односу на вектор ${\displaystyle (v_{1},v_{2}),}$ или ако је један од њих нула вектор.

Rⁿ (n-димензионални еуклидски простор)

У еуклидском простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ са стандардним унутрашњим производом, Коши-Шварцова неједнакост гласи

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$

У овом случају, дата неједнакост се може доказати и помоћу елементарне алгебре. Наиме, посматрајмо следећи квадратни полином по ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle 0\leq (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}=\left(\sum u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum u_{i}v_{i}\right)x+\sum v_{i}^{2}.}$

Како је дати квадратни полином ненегативан, он може имати највише један реалан корен, одакле следи да је његова дискриминанта мања или једнака нули. Дакле,

${\displaystyle \left(\sum (u_{i}v_{i})\right)^{2}-\sum {u_{i}^{2}}\sum {v_{i}^{2}}\leq 0,}$

одакле непосредно следи Коши-Шварцова неједнакост.

L²

За унутрашњи производ простора квадратно интеграбилних функција са комплексним вредностима важи

${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$

Уопштење овога представља Хелдерова неједнакост.

Примене

Анализа

Неједнакост троугла за стандардну норму често се наводи као последица Коши-Шварцове неједнакости. Наиме, ако су дати вектори ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, имамо да важи:

${\displaystyle {\begin{aligned}\|x+y\|^{2}&=\langle x+y,x+y\rangle \\&=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}\\&=\|x\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}\\&\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}\\&=(\|x\|+\|y\|)^{2}.\end{aligned}}}$

Узимањем квадратног корена обе стране неједнакости добијамо управо неједнакост троугла:

${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

Коши-Шварцова неједнакост се користи и да се докаже да је унутрашњи производ непрекидна функција, узимајући у обзир топологију која је индукована самим унутрашњим производом.^[8][9]

Геометрија

Коши-Шварцова неједнакост омогућава да се појам угла између два вектора уопшти на било који реални простор са унутрашњим производом тако што се дефинише^[10][11]

${\displaystyle \cos \theta _{xy}={\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\|y\|}}.}$

Помоћу Коши-Шварцове неједнакости доказује се да је дата дефиниција добра, тако што се покаже да вредност израза са десне стране припада интервалу [−1, 1], и оправдава се тврђење да (реални) Хилбертови простори заправо представљају генерализацију еуклидског простора. Горенаведена једнакост може се користити и за дефинисање угла у комплексним просторима са унутрашњим производом, узимањем модула или реалног дела десне стране.^[12][13]

Теорија вероватноће

Нека су X и Y случајне променљиве. Тада за њихову коваријансу важи неједнакост:^[14][15]

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)\geq {\frac {(\operatorname {Cov} (Y,X))^{2}}{\operatorname {Var} (X)}},}$

где ${\displaystyle \operatorname {Var} }$ означава варијансу, а ${\displaystyle \operatorname {Cov} }$ коваријансу датих случајних променљивих.

Дефинисањем унутрашњег производа на скупу случајних променљивих помоћу очекивања њиховог производа:

${\displaystyle \langle X,Y\rangle$ :=\operatorname {E} (XY),}

Коши-Шварцова неједнакост постаје

${\displaystyle |\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}$

Да бисмо доказали неједнакост за коваријансу помоћу Коши-Шварцове неједнакости, означимо ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ и ${\displaystyle \nu =\operatorname {E} (Y)}$; тада је

${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2})\operatorname {E} ((Y-\nu )^{2})\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y).\end{aligned}}}$

Уопштења

Постоје разна уопштења Коши-Шварцове неједнакости. Хелдерова неједнакост представља њено уопштење на ${\displaystyle L^{p}}$ норме. Још општије, ова неједнакост може се интерпретирати као специјалан случај дефиниције норме линеарног оператора у Банаховом простору (конкретно, када је простор Хилбертов). Даље генерализације су у контексту теорије оператора, на пример за алгебре оператора у којима су домен и/или кодомен замењени са C*-алгебром или W*-алгебром.

Унутрашњи производ се може користити за дефинисање позитивног линеарног функционала. На пример, ако је дат Хилбертов простор ${\displaystyle L^{2}(m)}$, где је ${\displaystyle m}$ коначна мера, помоћу стандардног унутрашњег производа може се дефинисати позитивни функционал ${\displaystyle \varphi }$ са ${\displaystyle \varphi (g)=\langle g,1\rangle }$. Обратно, сваки позитивни линеарни функционал ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle L^{2}(m)}$ може се користити за дефинисање унутрашњег производа: ${\displaystyle \langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi (g^{*}f)}$, где ${\displaystyle g^{*}}$ представља тачка по тачка комплексни конјугат од ${\displaystyle g}$. У овом случају Коши-Шварцова неједнакост постаје^[16]

${\displaystyle |\varphi (g^{*}f)|^{2}\leq \varphi (f^{*}f)\varphi (g^{*}g),}$

што се уопштава на позитивне функционале у C*-алгебрама:

Теорема (Коши-Шварцова неједнакост за позитивне функционале на C*-алгебрама):^[17][18] Ако је ${\displaystyle \varphi }$ позитивни линеарни функционал на C*-алгебри ${\displaystyle {\mathcal {A}},}$ онда за све ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$ важи

${\displaystyle |\varphi (b^{*}a)|^{2}\leq \varphi (b^{*}b)\varphi (a^{*}a)}$.

Наредне две теореме представљају даља уопштења Коши-Шварцове неједнакости у алгебри оператора.

Теорема (Кадисон-Шварцова неједнакост,^[19][20] названа по Ричарду Кадисону): Ако је ${\displaystyle \varphi }$ унитална позитивна мапа, тада за сваки нормални елемент ${\displaystyle a}$ из њеног домена важи

${\displaystyle \varphi (a^{*}a)\geq \varphi (a^{*})\varphi (a)}$ и ${\displaystyle \varphi (a^{*}a)\geq \varphi (a)\varphi (a^{*})}$.

Одавде следи чињеница да је ${\displaystyle \varphi (a^{*}a)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2}}$, уколико је ${\displaystyle \varphi }$ линеарни функционал. Случај када је ${\displaystyle a}$ самоадјунгован, тј. ${\displaystyle a=a^{*},}$ се некад назива Кадисонова неједнакост.

Теорема (Модификована Шварцова неједнакост за 2-позитивне мапе):^[21] Ако је ${\displaystyle \varphi }$ 2-позитивна мапа између C*-алгебри, тада за све ${\displaystyle a,b}$ из њеног домена важи:

${\displaystyle \varphi (a)^{*}\varphi (a)\leq \Vert \varphi (1)\Vert \varphi (a^{*}a){\text{ и }}}$

${\displaystyle \Vert \varphi (a^{*}b)\Vert ^{2}\leq \Vert \varphi (a^{*}a)\Vert \cdot \Vert \varphi (b^{*}b)\Vert .}$

Још једно уопштење се добија интерполацијом обе стране Коши-Шварцове неједнакости:

Теорема (Неједнакост Калебаута):^[22] За реалне бројеве ${\displaystyle 0\leqslant s\leqslant t\leqslant 1}$ важи:

${\displaystyle {\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}{\Bigr )}^{2}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}\leqslant \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}.}$

Ово се лако доказујe коришћењем Хелдерове неједнакости.^[23]

Види још

• Јенсенова неједнакост
• Неједнакост Минковског
• Беселова неједнакост