Околина (математика)

У топологији и сродним математичким областима, околина је један од основних појмова у тополошком простору. Интуитивно говорећи, околина тачке је скуп који садржи тачку у коме можемо да се померамо мало, а да не напустимо скуп.

Скуп ${\displaystyle V}$ у равни је околина тачке ${\displaystyle p}$ ако се мали диск око ${\displaystyle p}$ налази у ${\displaystyle V.}$

Правоугаоник није околина ниједног од својих углова.

Овај концепт је блиско повезан са концептима отворног скупа и унутрашњости.

Дефиниција

Нека је тополошки простор, а је тачка у , околина тачке је скуп , који садржи отворен скуп који садржи ,

${\displaystyle p\in U\subseteq V.}$

Ваља имати у виду да околина не мора и сама да буде отворен скуп. Ако је отворен, онда се ради о отвореној околини. Неки аутори захтевају да околине буду отворене, па је важно да се води рачуна о конвенцијама које се користе.

Ако је подксуп од , околина од је скуп , који садржи отворен скуп који садржи . Следи да је скуп околина скупа , ако и само ако је околина свих тачака у .

У метричком простору

Скуп ${\displaystyle S}$ у равни и униформна околина ${\displaystyle V}$ од ${\displaystyle S.}$

У метричком простору , скуп је околина тачке ако постоји отворена кугла са центром и полупречником ,

${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

која се садржи у .

се назива униформном околином скупа ако постоји позитиван број такав да за све елементе из ,

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

се налази у .

За , -околина ${\displaystyle S_{r}}$ скупа је скуп свих тачака у које су на раздаљини мањој од од (или еквивалентно, ${\displaystyle S_{r}}$ је унија свих отворених кугли полупречника са центром у тачки ).

Директна последица је да је -околина униформна околина, и да је скуп униформна околина ако и само ако садржи -околину за неку вредност .

Примери

Ако је дат скуп реалних бројева, са уобичајеном еуклидском метриком и подскуп дефинисан као

${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,{\frac {1}{n}}\right),}$

тада је околина за скуп , природних бројева, али није униформна околина овог скупа.

Литература

• Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387979263.
• Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0821826948.