Тополошки простор

Тополошки простори су математичке структуре које омогућавају формалну дефиницију појмова као што су конвергенција, повезаност и непрекидност. Они се јављају у практично свим гранама модерне математике. Грана математике која проучава саме тополошке просторе се назива топологија.^[1][2][3]

Тополошки простор је најопштији тип математичког простора^[4][5][6] који омогућава дефинисање граница, континуитета и повезаности.^[7][8] Уобичајени типови тополошких простора укључују еуклидске просторе,^[9] метричке просторе^[10] и многострукости.

Дефиниција

Тополошки простор је уређени пар скупа и колекције подскупова од (подскуп партитивног скупа ) у ознаци ${\displaystyle \tau }$, који задовољавају следеће особине:

1. празан скуп и налазе се у ${\displaystyle \tau }$.
2. унија свих колекција скупова из ${\displaystyle \tau }$ је такође скуп у ${\displaystyle \tau }$.
3. пресек сваке коначне колекције скупова из ${\displaystyle \tau }$ је такође у ${\displaystyle \tau }$.

Колекција ${\displaystyle \tau }$ се назива топологијом над . Елементи скупа се обично називају тачкама, мада могу бити произвољни математички објекти. Тополошки простор у коме су тачке представљене неким функцијама, назива се функционални или функцијски простор.

Скупови у ${\displaystyle \tau }$ су отворен скупови, а њихови комплементи у су затворени скупови. Произвољни подскуп од може бити отворен, затворен, и отворен и затворен истовремено или нити отворен, нити затворен.

Покривач скупа је скуп подскупова у такав да њихова унија даје цео скуп . Покривач скупа је отворен, ако се састоји од отворених скупова.^[11]

Околина тачке је сваки скуп који садржи отворен скуп у којем се налази . Систем околине на се састоји од свих околина од . Топологију може да одреди скуп аксиома које се тичу свих система околина.

Четири примера и два контрапримера топологија над скупом од три тачке, {1, 2, 3}. Доњи леви пример није топологија јер недостаје {2,3}, унија {2} и {3}; доњи десни пример није топологија јер недостаје {2} пресек {1,2} и {2,3}.

• Специјални тополошки простори у зависности од топологије ${\displaystyle \tau }$:

1. Тривијална топологија је топологија коју чине само произвољан скуп и колекција ${\displaystyle \tau }$ = {${\displaystyle \emptyset }$, } која се састоји од само два обавезна подскупа који морају да је чине по дефиницији тополошког простора, од празног и целог скупа.
2. Дискретна топологија је топологија која се састоји од произвољног скупа и колекције ${\displaystyle \tau }$= , која је највећи могући подскуп партитивног скупа од , тј. овде је топологија цео партитивни скуп од .
3. Код бесконачних скупова, када је нпр. = ${\displaystyle {\mathit {Z}}}$ и колекција ${\displaystyle \tau }$ је једнака унији свих коначних подскупова целих бројева и целог скупа ${\displaystyle {\mathit {Z}}}$, овако формирани уређени пар није тополошки простор, јер ${\displaystyle \tau }$ није топологија, пошто постоје бесконачни скупови елемената из који се не налазе у ${\displaystyle \tau }$.

Еквивалентне дефиниције

Осим наведене дефиниције, еквивалентни тополошки простор се може дефинисати и преко затворених скупова:

Тополошки простор је уређени пар скупа и колекције ${\displaystyle \tau }$ подскупова од који задовољавају следеће аксиоме:

1. Празан скуп и су у ${\displaystyle \tau }$.
2. Пресек сваке колекције скупова из ${\displaystyle \tau }$ је такође у ${\displaystyle \tau }$.
3. унија сваког пара скупова из ${\displaystyle \tau }$ је такође у ${\displaystyle \tau }$.

Еквивалентност дефиниција тополошког простора преко отворених и затворених скупова се добија преко де Морганових закона, када аксиоме које дефинишу отворене скупове постају аксиоме које дефинишу затворене скупове:

1. Празан скуп и су затворени.
2. Пресек сваке колекције затворених скупова је такође затворен.
3. Унија сваког пара затворених скупова је такође затворена.

По овој дефиницији тополошког простора, скупови у топологији ${\displaystyle \tau }$ су затворени скупови, а њихови комплементи у су отворени скупови.

Још један начин за дефинисање тополошког простора је коришћењем аксиома затворености Куратовског, које дефинишу затворене скупове као фиксне тачке оператора над партитивним скупом од X.

Поређење топологија

Над истим скупом може постојати више топологија ${\displaystyle \tau }$ тако да граде различите тополошке просторе.

Топологија ${\displaystyle \tau _{1}}$ је грубља (мања, слабија) од ${\displaystyle \tau _{2}}$, односно, топологија ${\displaystyle \tau _{2}}$ је финија (већа, јача) од топологије ${\displaystyle \tau _{1}}$ ако важи да је сваки скуп из топологије ${\displaystyle \tau _{1}}$ истовремено садржан у топологији ${\displaystyle \tau _{2}}$. Овакво поређење топологија се записује: ${\displaystyle \tau _{1}}$ > ${\displaystyle \tau _{2}}$.

Доказ који се ослања само на постојање одређених отворених скупова ће уједно важити и на финијој топологији, и слично, доказ који се ослања само на то да одређени скупови нису отворени ће важити и на свакој грубљој топологији.

Непрекидне функције

За функцију између два тополошка простора се каже да је непрекидна ако је инверзна слика сваког отвореног скупа отворена.

Хомеоморфизам је бијекција која је непрекидна и чији је и инверз такође непрекидан. За два простора се каже да су хомеоморфна ако постоји хомеоморфизам између њих. Са гледишта топологије, хомеоморфни простори су у суштини идентични.

Види још

• Топологија
• Морфизам
• Хомоморфизам
• Хомеоморфизам
• Векторски простор
• Функционални простор