Ортонормирана база

Ортонормирана база је база неког векторског простора чији су вектори међусобно нормални и јединични.

${\displaystyle {\begin{matrix}e=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}),&|e_{i}|=1,e_{j}e_{k}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\&i,j,k=1,\dots ,n,\;j\neq k\\\end{matrix}}}$

Пример ортонормиране базе је тзв. канонска база.

Ортонормирање базе

Свака база неког векторског простора се може ортогонормирати на базу . Поступак се дели на два дела:

• Ортогонализација вектора базе тј. формирање нове базе чији су вектори добијени линеарним комбиновањем вектора из али су и међусобно нормални.
• Нормирање вектора из што даје веткоре ортонормиране базе .

Ортогонализација

Прво се узме произвољан вектор из , рецимо . Први вектор из му може бити једнак, јер нема других вектора на које треба да буде нормалан:

${\displaystyle w_{1}=v_{1}}$

У следећем кораку се узима један од још неупотребљених вектора из , рецимо :

${\displaystyle w_{2}=v_{2}\frac {v_{2}w_{1}}{w_{1}w_{1}}}w_{1}}$

Следећи вектор узима у обзир још један неупотребљен вектор из , али треба бити и нормалан на претходна два:

${\displaystyle w_{3}=v_{3}\frac {v_{3}w_{1}}{w_{1}w_{1}}}w_{1{\frac {v_{3}w_{2}}{w_{2}w_{2}}}w_{2}}$

Поступак се понавља док се не употребе сви вектори из .

${\displaystyle w_{i}=v_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{{\frac {v_{j}w_{j}}{w_{j}w_{j}}}w_{j}}}$

Нормирање

Сви вектори из се деле са својим интензитетима. Тако се добијају вектори ортонормиране базе :

${\displaystyle e_{i}={\frac {w_{i}}{|w_{i}|}},\;i=1,\dots ,n}$