Основна теорема алгебре

Основна теорема алгебре (енгл. Fundamental theorem of algebra), која се још назива и д’Аламберова теорема^[1] или д’Аламбер–Гаусова теорема,^[2] тврди да сваки неконстантан полином са једном променљивом и комплексним коефицијентима има бар један комплексан корен. Ово обухвата и полиноме са реалним коефицијентима, пошто је сваки реалан број комплексан број чији је имагинарни део једнак нули.

Еквивалентно (по дефиницији), теорема тврди да је поље комплексних бројева алгебарски затворено.

Теорема се такође може исказати на следећи начин: сваки ненулти полином са једном променљивом степена n са комплексним коефицијентима има, узети с вишеструкошћу, тачно n комплексних корена. Еквивалентност ова два тврђења се може доказати кроз узастопно полиномско дељење.

Упркос свом називу, теорема није фундаментална за модерну алгебру; названа је тако када је алгебра била синоним за теорију једначина.

Историја

Петер Рот, у својој књизи Arithmetica Philosophica (објављеној 1608. у Нирнбергу, од стране Јохана Ланценбергера),^[3] написао је да полиномска једначина степена n (са реалним коефицијентима) може имати n решења. Албер Жирар, у својој књизи L'invention nouvelle en l'Algèbre (објављеној 1629.), тврдио је да полиномска једначина степена n има n решења, али није навео да она морају бити реални бројеви. Даље, додао је да његова тврдња важи „осим ако једначина није непотпуна“, где „непотпуна“ значи да је бар један коефицијент једнак нули. Међутим, када детаљно објашњава шта мисли, јасно је да он заправо верује да његова тврдња увек важи; на пример, показује да једначина ${\displaystyle x^{4}=4x-3,}$ иако непотпуна, има четири решења (рачунајући вишеструкост): 1 (два пута), ${\displaystyle -1+i{\sqrt {2}},}$ и ${\displaystyle -1-i{\sqrt {2}}.}$

Као што ће се поновити касније, из основне теореме алгебре следи да се сваки неконстантан полином са реалним коефицијентима може записати као производ полинома са реалним коефицијентима чији су степени или 1 или 2. Међутим, 1702. године Лајбниц је погрешно рекао да се ниједан полином облика x⁴ + a⁴ (са a реалним и различитим од 0) не може записати на такав начин. Касније је Никола Бернули изнео исту тврдњу за полином x⁴ − 4x³ + 2x² + 4x + 4, али је добио писмо од Ојлера 1742.^[4] у коме је показано да је овај полином једнак

${\displaystyle \left(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),}$

са ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}.}$ Ојлер је такође истакао да је

${\displaystyle x^{4}+a^{4}=\left(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right)\left(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right).}$

Први покушај доказа теореме извршио је д’Аламбер 1746., али је његов доказ био непотпуни. Међу другим проблемима, имплицитно је претпостављао теорему (сада познату као Пицоова теорема), која није доказана до више од века касније и коришћењем основне теореме алгебре. Друге покушаје су извели Ојлер (1749), де Фонсне (1759), Лагранж (1772) и Лаплас (1795). Ова четири покушаја имплицитно су претпоставила Жирарову тврдњу; тачније, постојање решења је претпостављено и све што је преостало да се докаже је да је њихов облик a + bi за неке реалне бројеве a и b. У модерним терминима, Ојлер, де Фонсне, Лагранж и Лаплас су претпоставили постојање расколног поља полинома p(z).

Крајем 18. века, објављена су два нова доказа која нису претпостављала постојање корена, али ни једно није било потпуно. Један од њих, који је припремио Џејмс Вуд и углавном је алгебарски, објављен је 1798. и потпуно је занемарен. Вудов доказ је имао алгебарску празнину.^[5] Други је објавио Гаус 1799. и углавном је био геометријски, али је имао тополошку празнину, коју је попунио Александар Островски тек 1920, као што је расправљено у Смејловом раду (1981).^[6]

Први ригорозни доказ објавио је Арган, математичар аматер, 1806. (и поново 1813.);^[7] овде је, по први пут, основна теорема алгебре изречена за полиноме са комплексним коефицијентима, а не само са реалним. Гаус је дао још два доказа 1816. и још једну непотпуну верзију свог оригиналног доказа 1849.

Први уџбеник који је садржао доказ теореме био је Кошијева „Курс анализе Краљевске политехничке школе“ (1821). Садржао је Арганов доказ, иако Арган није поменут.

Ниједан од до сада поменутих доказа није конструктиван. Вајерштрас је средином 19. века први пут поставио проблем проналажења конструктивног доказа основне теореме алгебре. Представио је своје решење, које се у савременим терминима своди на комбинацију Дуранд–Кернеровог метода са принципом хомотопске континуације, 1891. Још један доказ ове врсте добио је Хелмут Кнезер 1940, а поједноставио га је његов син Мартин Кнезер 1981.

Без коришћења изборног аксиома, није могуће конструктивно доказати основну теорему алгебре за комплексне бројеве на основу Дедекиндових реалних бројева (који конструктивно нису еквивалентни Кошијевим реалним бројевима без аксиома избора).^[8] Међутим, Фред Ричман је доказао реформулисану верзију теореме која функционише.^[9]

Еквивалентне формулације

Постоји неколико еквивалентних формулација теореме:

• Сваки унарни полином позитивног степена са реалним коефицијентима има бар један комплексан корен.
• Сваки унарни полином позитивног степена са комплексним коефицијентима има бар један комплексан корен.

  Ово непосредно имплицира претходно тврђење, пошто су реални бројеви такође комплексни бројеви. Обрнуто следи из чињенице да се производ полинома и његовог комплексног конјугата (који се добија заменом сваког коефицијента његовим комплексним конјугатом) добија полином са реалним коефицијентима. Корен овог производа је или корен датог полинома или његовог конјугата; у другом случају, конјугат овог корена је корен датог полинома.

• Сваки унарни полином позитивног степена n са комплексним коефицијентима се може факторизовати као $${\displaystyle c(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$ где су ${\displaystyle c,r_{1},\ldots ,r_{n}}$ комплексни бројеви.

  Бројеви r_1, \ldots, r_n су корени полинома. Ако се корен јавља у више фактора, он је вишеструки корен, а број његовог појављивања је, по дефиницији, вишеструкост корена.

  Доказ да ова тврдња следи из претходних врши се рекурзијом на n: када се корен ${\displaystyle r_{1}}$ нађе, полиномска деоба са ${\displaystyle x-r_{1}}$ даје полином степена ${\displaystyle n-1}$ чији су корени остали корени датог полинома.

Следећа два тврђења еквивалентна су претходнима, иако не укључују ниједан нереалан комплексни број. Ова тврђења се могу доказати из претходних факторизација уочавајући да, ако је r нереалан корен полинома са реалним коефицијентима, његов комплексни конјугат ${\displaystyle {\overline {r}}}$ је такође корен, и ${\displaystyle (x-r)(x-{\overline {r}})}$ је полином другог степена са реалним коефицијентима (ово је теорема о комплексним корењима). Обрнуто, ако имамо фактор другог степена, квадратна формула даје комплексан корен.

• Сваки унарни полином са реалним коефицијентима степена већег од два има фактор другог степена са реалним коефицијентима.
• Сваки унарни полином са реалним коефицијентима позитивног степена може се факторизовати као $${\displaystyle cp_{1}\cdots p_{k},}$$ где је c реалан број и сваки ${\displaystyle p_{i}}$ је моничан полином степена највише два са реалним коефицијентима. Штавише, може се претпоставити да фактори другог степена немају ниједан реалан корен.

Докази

Сви докази испод укључују неку математичку анализу, или барем тополошки појам непрекидности реалних или комплексних функција. Неки такође користе изводљиве или чак аналитичке функције. Овај захтев је довео до примедбе да основна теорема алгебре није ни фундаментална ни теорема алгебре.^[10]

Неки докази теореме доказују само да сваки полином са реалним коефицијентима има неки сложени корен. Ова лема је довољна да успостави општи случај јер, с обзиром на неконстантан полином p са комплексним коефицијентима, полином

${\displaystyle q=p{\overline {p}},}$

има само реалне коефицијенте и, ако је z корен од q, онда је или z или његов конјугат корен од p. Овде, ${\displaystyle {\overline {p}}}$ је полином добијен заменом сваког коефицијента од p његовим комплексним конјугатом; корени од ${\displaystyle {\overline {p}}}$ су управо комплексни конјугати корена од p.

Многи неалгебарски докази теореме користе чињеницу (која се понекад назива „лемом раста“) да се полиномијална функција p(z) степена n чији је водећи коефицијент 1 понаша као zⁿ када је |z| довољно велико. Прецизније, постоји неки позитиван реални број R такав да

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}|z^{n}|<|p(z)|<{\tfrac {3}{2}}|z^{n}|}$

када |z| > R.

Реално-аналитички докази

Чак и без коришћења комплексних бројева, могуће је показати да се полином са реалним вредностима p(x): p(0) ≠ 0 степена n > 2 увек може поделити неким квадратним полиномом са реалним коефицијентима.^[11] Другим речима, за неке реалне вредности a и b, коефицијенти линеарног остатка при дељењу p(x) са x² − ax − b истовремено постају нула.

${\displaystyle p(x)=(x^{2}-ax-b)q(x)+x\,R_{p(x)}(a,b)+S_{p(x)}(a,b),}$

где је q(x) полином степена n − 2. Коефицијенти R_p(x)(a, b) и S_p(x)(a, b) су независни од x и у потпуности су одређени коефицијентима p(x). У смислу репрезентације, R_p(x)(a, b) и S_p(x)(a, b) су биваријативни полиноми у a и b. У стилу првог (непотпуног) Гаусовог доказа ове теореме из 1799., кључно је показати да за сваку довољно велику негативну вредност од b, сви корени и R_p(x)(a, b) и S_p(x)(a, b) у променљивој a су реални и наизменични (особина уметања). Коришћењем Штурмовог ланца који садржи R_p(x)(a, b) и S_p(x)(a, b) као узастопне чланове, уметање у променљивој a се може показати за све узастопне парове у ланцу кад год b има довољно велику негативну вредност. Пошто S_p(a, b = 0) = p(0) нема коренова, уметање R_p(x)(a, b) и S_p(x)(a, b) у променљивој a не успева при b = 0. Тополошки аргументи се могу применити на особину уметања да би се показало да се локуси корена R_p(x)(a, b) и S_p(x)(a, b) морају пресећи за неке реалне вредности a и b < 0.

Комплексно-аналитички докази

Пронађите затворен диск D полупречника r са центром у координатном почетку тако да |p(z)| > |p(0)| кад год |z| ≥ r. Минимум |p(z)| на D, који мора постојати пошто је D компактан, стога се достиже у некој тачки z₀ у унутрашњости D, али не ни у једној тачки његове границе. Принцип максималног модула примењен на 1/p(z) имплицира да је p(z₀) = 0. Другим речима, z₀ је нула од p(z).

Варијација овог доказа не захтева принцип максималног модула (у ствари, сличан аргумент такође даје доказ принципа максималног модула за холоморфне функције). Настављајући од пре примене принципа, ако је a := p(z₀) ≠ 0, онда, проширујући p(z) у степима од z − z₀, можемо написати

${\displaystyle p(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Овде, c_j су једноставно коефицијенти полинома z → p(z + z₀) након ширења, а k је индекс првог коефицијента различитог од нуле након константног члана. За z довољно близу z₀ ова функција се асимптотски понаша слично једноставнијем полиному ${\displaystyle q(z)=a+c_{k}(z-z_{0})^{k}}$. Прецизније, функција

${\displaystyle \left|{\frac {p(z)-q(z)}{(z-z_{0})^{k+1}}}\right|\leq M}$

за неку позитивну константу M у неком суседству од z₀. Према томе, ако дефинишемо ${\displaystyle \theta _{0}=(\arg(a)+\pi -\arg(c_{k}))/k}$ и нека је ${\displaystyle z=z_{0}+re^{i\theta _{0}}}$ пратећи круг полупречника r > 0 око z, онда за сваки довољно мали r (тако да граница M важи), видимо да

${\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}$

Када је r довољно близу 0, ова горња граница за |p(z)| је строго мања од |a|, што је у супротности са дефиницијом z₀. Геометријски, пронашли смо експлицитан правац θ₀ такав да ако се приђе z₀ из тог правца, може се добити p(z) који је по апсолутној вредности мањи од |p(z₀)|.

Још један аналитички доказ може се добити дуж ове линије размишљања уочавајући да, пошто |p(z)| > |p(0)| изван D, минимум |p(z)| на целој комплексној равни се достиже у z₀. Ако |p(z₀)| > 0, онда је 1/p ограничена холоморфна функција у целој комплексној равни јер, за сваки комплексни број z, |1/p(z)| ≤ |1/p(z₀)|. Применом Лувилове теореме, која тврди да ограничена цела функција мора бити константа, ово би имплицирало да је 1/p константа и да је стога p константа. Ово доводи до контрадикције, и отуда је p(z₀) = 0.^[12]

Још један аналитички доказ користи аргумент принципа. Нека је R позитиван реални број довољно велик да сваки корен p(z) има апсолутну вредност мању од R; такав број мора постојати јер свака неконстантна полиномна функција степена n има највише n нула. За сваки r > R, размотри број

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {p'(z)}{p(z)}}\,dz,}$

где је c(r) круг са центром у 0 са полупречником r орјентисан супротно од казаљке на сату; онда аргумент принципа каже да је овај број број N нула p(z) у отвореној кугли са центром у 0 са полупречником r, што, пошто је r > R, укупан број нула p(z). Са друге стране, интеграл n/z дуж c(r) подељен са 2πi једнак је n. Али разлика између два броја је

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}\left({\frac {p'(z)}{p(z)}}-{\frac {n}{z}}\right)dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c(r)}{\frac {zp'(z)-np(z)}{zp(z)}}\,dz.}$

Бројилац рационалног израза који се интегрира има степен највише n − 1, а степен имениоца је n + 1. Према томе, горњи број тежи 0 када r → +∞. Али број је такође једнак N − n и тако је N = n.

Још један комплексно-аналитички доказ може се дати комбиновањем линеарне алгебре са Кошијевом теоремом. Да би се утврдило да сваки сложени квадратни матрикс величине n > 0 има (сложену) сопствену вредност, довољно је показати да постоји корен за сваки неконстантан полином степена n.^[13] Доказ тог тврђења је контрадикцијом.

Нека је A сложени квадратни матрикс величине n > 0 и нека је I_n јединична матрица исте величине. Претпоставимо да A нема сопствене вредности. Размотрите резолвентну функцију

${\displaystyle R(z)=(zI_{n}-A)^{-1},}$

која је мероморфна функција на комплексној равни са вредностима у векторском простору матрица. Сопствене вредности од A су управо полови R(z). Пошто, по претпоставци, A нема сопствене вредности, функција R(z) је цела функција и Кошијева теорема имплицира да

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)\,dz=0.}$

Са друге стране, R(z) проширена као геометријски ред даје:

${\displaystyle R(z)=z^{-1}(I_{n}-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}A^{k}\cdot }$

Ова формула важи изван затвореног диска полупречника ${\displaystyle \|A\|}$ (операторска норма од A). Нека је ${\displaystyle r>\|A\|.}$ Онда

${\displaystyle \int _{c(r)}R(z)dz=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{c(r)}{\frac {dz}{z^{k+1}}}A^{k}=2\pi iI_{n}}$

(у којој само сабирак k = 0 има интеграл различит од нуле). Ово је контрадикција, и тако A има сопствену вредност.

Коначно, Рушеова теорема даје можда најкраћи доказ теореме.

Тополошки докази

Анимација која илуструје доказ на полиному ${\displaystyle x^{5}-x-1}$

Претпоставимо да се минимум |p(z)| на целој комплексној равни достиже у z₀; виђено је у доказу који користи Лувилову теорему да такав број мора постојати. Можемо написати p(z) као полином у z − z₀: постоји неки природни број k и неки комплексни бројеви c_k, c_k + 1, ..., c_n тако да c_k ≠ 0 и:

${\displaystyle p(z)=p(z_{0})+c_{k}(z-z_{0})^{k}+c_{k+1}(z-z_{0})^{k+1}+\cdots +c_{n}(z-z_{0})^{n}.}$

Ако је p(z₀) различито од нуле, следи да ако је a k-ти корен од −p(z₀)/c_k и ако је t позитивно и довољно мало, онда |p(z₀ + ta)| < |p(z₀)|, што је немогуће, пошто је |p(z₀)| минимум |p| на D.

За још један тополошки доказ контрадикцијом, претпоставимо да полином p(z) нема корена, и стога никада није једнак 0. Посматрајте полином као пресликавање из комплексне равни у комплексну раван. Он пресликава сваки круг |z| = R у затворену петљу, криву P(R). Размотрићемо шта се дешава са бројем обртаја од P(R) на екстремима када је R веома велико и када је R = 0. Када је R довољно велики број, онда водећи члан zⁿ од p(z) доминира над свим другим члановима заједно; другим речима,

${\displaystyle \left|z^{n}\right|>\left|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}\right|.}$

Када z прелази круг ${\displaystyle Re^{i\theta }}$ једном у смеру супротном од казаљке на сат ${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi ),}$ онда ${\displaystyle z^{n}=R^{n}e^{in\theta }}$ вије n пута у смеру супротном од казаљке на сат ${\displaystyle (0\leq \theta \leq 2\pi n)}$ око координатног почетка (0,0), а P(R) слично. На другом екстрему, са |z| = 0, крива P(0) је само једна тачка p(0), која мора бити различита од нуле јер p(z) није нула. Дакле, p(0) мора бити различито од координатног почетка (0,0), што означава 0 у комплексној равни. Број обртаја P(0) око координатног почетка (0,0) је стога 0. Сада непрекидно мењајући R, континуирано ће се деформисати петља. На неком R број обртаја мора се променити. Али то се може десити само ако крива P(R) укључује координатни почетак (0,0) за неко R. Али онда за неко z на том кругу |z| = R имамо p(z) = 0, што контрадиктује нашу првобитну претпоставку. Према томе, p(z) има бар једну нулу.

Алгебарски докази

Ови докази Основне теореме алгебре морају користити следеће две чињенице о реалним бројевима које нису алгебарске већ захтевају само малу количину анализе (прецизније, теорему о средњој вредности у оба случаја):

• сваки полином са непарним степеном и реалним коефицијентима има неки реалан корен;
• сваки ненегативан реалан број има квадратни корен.

Друга чињеница, заједно са квадратном формулом, имплицира теорему за реалне квадратне полиноме. Другим речима, алгебарски докази основне теореме заправо показују да ако је R било које реално затворено поље, онда је његово проширење C = R(√−1) алгебарски затворено.

Индукцијом

Као што је поменуто раније, довољно је проверити тврдњу „сваки неконстантан полином p(z) са реалним коефицијентима има сложен корен“. Ова тврдња се може доказати индукцијом на највећи ненегативни цео број k такав да 2^k дели степен n од p(z). Нека је a коефицијент zⁿ у p(z) и нека је F расколно поље од p(z) преко C; другим речима, поље F садржи C и постоје елементи z₁, z₂, ..., z_n у F такви да

${\displaystyle p(z)=a(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n}).}$

Ако је k = 0, онда је n непаран, и према томе p(z) има реалан корен. Сада, претпоставимо да је n = 2^km (са m непарним и k > 0) и да је теорема већ доказана када степен полинома има облик 2^k − 1m′ са m′ непарним. За реалан број t, дефинишимо:

${\displaystyle q_{t}(z)=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(z-z_{i}-z_{j}-tz_{i}z_{j}\right).}$

Тада су коефицијенти q_t(z) симетрични полиноми у z_i са реалним коефицијентима. Стога, они се могу изразити као полиноми са реалним коефицијентима у елементарним симетричним полиномима, то јест у −a₁, a₂, ..., (−1)ⁿa_n. Значи q_t(z) заправо има реалне коефицијенте. Даље, степен од q_t(z) је n(n − 1)/2 = 2^k−1m(n − 1), и m(n − 1) је непаран број. Дакле, коришћењем индуктивне хипотезе, q_t има бар један сложени корен; другим речима, z_i + z_j + tz_iz_j је сложен за два различита елемента i и j из {1, ..., n}. Пошто има више реалних бројева него парова (i, j), може се наћи различитих реалних бројева t и s таквих да су z_i + z_j + tz_iz_j и z_i + z_j + sz_iz_j сложени (за исти i и j). Значи, и z_i + z_j и z_iz_j су комплексни бројеви. Лако је проверити да сваки комплексни број има сложен квадратни корен, па следи да сваки сложени полином другог степена има сложен корен помоћу квадратне формуле. Следи да су z_i и z_j комплексни бројеви, јер су корени квадратног полинома z² −  (z_i + z_j)z + z_iz_j.

Џозеф Шипман је 2007. показао да је претпоставка да полиноми непарног степена имају корене јача него што је потребно; свако поље у којем полиноми простог степена имају корене је алгебарски затворено (тако да се „непаран“ може заменити са „непаран прост“ и ово важи за поља свих карактеристика).^[14] За аксиоматизацију алгебарски затворених поља, ово је најбоље могуће, јер постоје контрапримери ако се искључи један прост број. Међутим, ови контрапримери се ослањају на −1 који има квадратни корен. Ако узмемо поље у коме −1 нема квадратног корена, и сваки полином степена n ∈ I има корен, где је I било који фиксиран бесконачан скуп непарних бројева, онда сваки полином f(x) непарног степена има корен (пошто (x² + 1)^kf(x) има корен, где је k изабрано тако да deg(f) + 2k ∈ I).

Из теорије Галоа

Још један алгебарски доказ основне теореме може се дати коришћењем Галоове теорије. Довољно је показати да C нема властито коначно проширење поља.^[15] Нека је K/C коначно проширење. Пошто нормално затварање од K преко R још увек има коначан степен над C (или R), можемо без смањења општиности претпоставити да је K нормално проширење од R (према томе то је Галоово проширење, као и свако алгебарско проширење поља карактеристике 0 је сепарабилно). Нека је G Галоова група овог проширења, и нека је H Силова 2-подгрупа од G, тако да је ред H степен 2, а индекс од H у G је непаран. Коришћењем фундаменталне теореме теорије Галоа, постоји подпроширење L од K/R такво да је Gal(K/L) = H. Пошто је [L:R] = [G:H] непаран, и не постоје нелинеарни нерастворљиви реални полиноми непарног степена, морамо имати L = R, стога су [K:R] и [K:C] степени 2. Под претпоставком контрадикцијом да је [K:C] > 1, закључујемо да 2-група Gal(K/C) садржи подгрупу индекса 2, тако да постоји подпроширење M од C степена 2. Међутим, C нема проширење степена 2, јер сваки квадратни сложени полином има сложен корен, као што је поменуто раније. Ово показује да је [K:C] = 1, и стога K = C, што довршава доказ.

Геометријски докази

Постоји још један начин приступања основној теореми алгебре, захваљујући Ј. М. Алмири и А. Ромеру: преко риманове геометрије. Главна идеја овде је доказати да постојање неконстантног полинома p(z) без нула имплицира постојање равне риманове метрике преко сфере S². Ово води до контрадикције пошто сфера није раван.

Риманова површ (M, g) се каже да је раван ако је њена Гаусова кривина, коју означавамо са K_g, истовремено нула. Сада, Гаус—Бонетова теорема, када се примени на сферу S², тврди да

${\displaystyle \int _{\mathbf {S} ^{2}}K_{g}=4\pi ,}$

што доказује да сфера није равна.

Нека сада претпоставимо да је n > 0 и

${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\neq 0}$

за сваки комплексни број z. Дефинишимо

${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}p\left({\tfrac {1}{z}}\right)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n}.}$

Очигледно, p*(z) ≠ 0 за све z у C. Размотримо полином f(z) = p(z)p*(z). Тада је f(z) ≠ 0 за свако z у C. Штавише,

${\displaystyle f({\tfrac {1}{w}})=p\left({\tfrac {1}{w}}\right)p^{*}\left({\tfrac {1}{w}}\right)=w^{-2n}p^{*}(w)p(w)=w^{-2n}f(w).}$

Можемо користити ову функционалну једначину да докажемо да је g, дат са

${\displaystyle g={\frac {1}{|f(w)|^{\frac {2}{n}}}}\,|dw|^{2}}$

за w у C, и

${\displaystyle g={\frac {1}{\left|f\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{\frac {2}{n}}}}\left|d\left({\tfrac {1}{w}}\right)\right|^{2}}$

за w ∈ S²\{0}, добро дефинисана риманова метрика преко сфере S² (коју идентификујемо са проширеном комплексном равни C ∪ {∞}).

Сада, једноставно израчунавање показује да

${\displaystyle \forall w\in \mathbf {C}$ :\qquad {\frac {1}{|f(w)|^{\frac {1}{n}}}}K_{g}={\frac {1}{n}}\Delta \log |f(w)|={\frac {1}{n}}\Delta {\text{Re}}(\log f(w))=0,}

јер је реални део аналитичке функције хармонијски. Ово доказује да је K_g = 0.

Последице

Пошто се основна теорема алгебре може посматрати као изјава да је поље комплексних бројева алгебарски затворено, следи да се свака теорема која се тиче алгебарски затворених поља примењује на поље комплексних бројева. Ево још неколико последица теореме, које се или тичу поља реалних бројева или односа између поља реалних бројева и поља комплексних бројева:

• Поље комплексних бројева је алгебарско затварање поља реалних бројева.
• Сваки полином са једном променљивом z са комплексним коефицијентима је производ комплексне константе и полинома облика z + a са a комплексним.
• Сваки полином са једном променљивом x са реалним коефицијентима може се јединствено написати као производ константе, полинома облика x + a са a реалним, и полинома облика x² + ax + b са a и b реалним и a² − 4b < 0 (што је иста ствар као да полином x² + ax + b нема реалне корене). (По Абел–Руфинијевој теореми, реални бројеви a и b нису нужно изразиви у терминима коефицијената полинома, основних аритметичких операција и вађења n-тих корена.) Ово имплицира да је број нереалних комплексних корена увек паран и остаје паран када се рачуна са својом вишеструкошћу.
• Свака рационална функција са једном променљивом x, са реалним коефицијентима, може се написати као збир полиномијалне функције са рационалним функцијама облика a/(x − b)ⁿ (где је n природан број, а a и b реални бројеви), и рационалних функција облика (ax + b)/(x² + cx + d)ⁿ (где је n природан број, а a, b, c, и d реални бројеви такви да је c² − 4d < 0). последица овога је да свака рационална функција са једном променљивом и реалним коефицијентима има елементарни примитив.
• Свако алгебарско проширење реалног поља је изоморфно или реалном пољу или пољу комплексних бројева.

Ограничења нула полинома

Главни чланак: Својства корена полинома

Иако основна теорема алгебре изражава општи резултат постојања, од извесног је интереса, како из теоретске тако и из практичне тачке гледишта, имати информације о локацији нула датог полинома. Најједноставнији резултат у том правцу је ограничење модула: све нуле ζ моничног полинома ${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$ задовољавају неједнакост |ζ| ≤ R_∞, где

${\displaystyle R_{\infty }:=1+\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|\}.}$

Као што је наведено, ово још није резултат постојања већ пример онога што се назива а приори границом: каже да „ако постоје решења” онда леже унутар затвореног диска са центром у координатном почетку и полупречником R_∞. Међутим, када се удружи са основном теоремом алгебре, каже да диск заправо садржи бар једно решење. Општије, граница може се дати директно у смислу било које p-норме n-вектора коефицијената ${\displaystyle a:=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}),}$ то јест |ζ| ≤ R_p, где је R_p управо q-норма 2-вектора ${\displaystyle (1,\|a\|_{p}),}$ q је конјуговани експонент од p, ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1,}$ за било које 1 ≤ p ≤ ∞. Дакле, модул било ког решења је такође ограничен са

${\displaystyle R_{1}:=\max \left\{1,\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|\right\},}$

${\displaystyle R_{p}:=\left[1+\left(\sum _{0\leq k<n}|a_{k}|^{p}\right)^{\frac {q}{p}}\right]^{\frac {1}{q}},}$

за 1 < p < ∞, а посебно

${\displaystyle R_{2}:={\sqrt {\sum _{0\leq k\leq n}|a_{k}|^{2}}}}$

(где дефинишемо a_n да значи 1, што је разумно пошто је 1 заиста n-ти коефицијент нашег полинома). Случај генеричког полинома степена n,

${\displaystyle P(z):=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0},}$

наравно се своди на случај моничног полинома дељењем свих коефицијената са a_n ≠ 0. Такође, у случају да 0 није корен, тј. a₀ ≠ 0, ограничења испод на корене ζ следе непосредно као ограничења горе на ${\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta }}}$, то јест, корене полинома

${\displaystyle a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}.}$

Коначно, растојање ${\displaystyle |\zeta -\zeta _{0}|}$ од корена ζ до било које тачке ${\displaystyle \zeta _{0}}$ може се оценити одоздо и одозго, гледајући ${\displaystyle \zeta -\zeta _{0}}$ као нуле полинома ${\displaystyle P(z+\zeta _{0})}$, чији су коефицијенти Тејлоров развој од P(z) у ${\displaystyle z=\zeta _{0}.}$

Нека је ζ корен полинома

${\displaystyle z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0};}$

да бисмо доказали неједнакост |ζ| ≤ R_p можемо претпоставити, наравно, |ζ| > 1. Писање једначине као

${\displaystyle -\zeta ^{n}=a_{n-1}\zeta ^{n-1}+\cdots +a_{1}\zeta +a_{0},}$

и користећи Холдерова неједнакост налазимо

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left\|\left(\zeta ^{n-1},\ldots ,\zeta ,1\right)\right\|_{q}.}$

Сада, ако је p = 1, ово је

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{1}\max \left\{|\zeta |^{n-1},\ldots ,|\zeta |,1\right\}=\|a\|_{1}|\zeta |^{n-1},}$

па

${\displaystyle |\zeta |\leq \max\{1,\|a\|_{1}\}.}$

У случају 1 < p ≤ ∞, узимајући у обзир формулу сумирања за геометријски низ, имамо

${\displaystyle |\zeta |^{n}\leq \|a\|_{p}\left(|\zeta |^{q(n-1)}+\cdots +|\zeta |^{q}+1\right)^{\frac {1}{q}}=\|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}-1}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}}\leq \|a\|_{p}\left({\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}\right)^{\frac {1}{q}},}$

па

${\displaystyle |\zeta |^{nq}\leq \|a\|_{p}^{q}{\frac {|\zeta |^{qn}}{|\zeta |^{q}-1}}}$

и поједностављујући,

${\displaystyle |\zeta |^{q}\leq 1+\|a\|_{p}^{q}.}$

Према томе,

${\displaystyle |\zeta |\leq \left\|\left(1,\|a\|_{p}\right)\right\|_{q}=R_{p}}$

важи за све 1 ≤ p ≤ ∞.

Види још

• Вајерштрасова теорема факторизације, уопштење теореме на друге целе функције
• Ајленберг—Нивенова теорема, уопштење теореме на полиноме са кватернионским коефицијентима и променљивама
• Хилбертова нул-теорема, уопштење на више променљивих тврђења да постоје сложени корени
• Безуова теорема, уопштење на више променљивих тврђења о броју корена.