Степени ред

У математици, степени ред (једне променљиве) је ред облика

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }$

где a_n представља коефицијент -тог сабирка, је константа, а је променљива близу . Ови редови се често јављају у виду Тејлорових редова неке дате функције; у чланку о Тејлоровим редовима се могу наћи примери.

Јако често се узима да је једнако нули, на пример, када се разматрају Маклоренови редови. У овим случајевима, степени ред има једноставнији облик

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .}$

Овакви степени редови се јављају углавном у анализи, али такође и у комбинаторици (као генераторне функције) и у обради сигнала.

Примери

Сваки полином се лако може изразити као степени ред код тачке , мада му је већина коефицијената једнака нули. На пример, полином ${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ се може записати као степени ред око ${\displaystyle c=0}$ облика

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,}$

или око центра ${\displaystyle c=1}$ као

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}$

или око било ког другог центра . Степени редови се могу посматрати као полиноми бесконачног реда, мада они нису полиноми.

Формула геометријског реда

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$

која важи за ${\displaystyle |x|<1}$, је једна од најважнијих примера степеног реда, као и формула експоненцијалне функције

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

и синусна формула

${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$

која важи за свако реално . Ови степени редови су такође и примери Тејлорових редова. Међутим, постоје степени редови који нису Тејлорови редови ниједне функције, на пример

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\cdots .}$

Негативни степени нису дозвољени у степеним редовима, на пример ${\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }$ се не сматра степеним редом (мада јесте Лоренов ред). Слично, разломљени степенови, као што је ${\displaystyle x^{1/2}}$ нису дозвољени (види Писеов ред). Коефицијенти ${\displaystyle a_{n}}$ не смеју да зависе од ${\displaystyle x}$, стога на пример:

${\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}$ није степени ред.

Радијус конвергенције

Степени ред сигурно конвергира за неке вредности променљиве (барем за = ) а за остале може да дивергира. Увек постоји број , 0 ≤ ≤ ∞ такав да ред конвергира кад год је | − | < и дивергира кад год | − | > . Број r се назива радијус конвергенције (или стпен конвергенције) степеног реда; у општем случају, радијус конвергенције је одређен изразом

${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{a_{n}\right|^{a_n\\right|^{\\frac{1}{n}}"}}' id="mwhg">$${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}}$

(види лимес супериор и лимес инфериор). Брз начин да се израчуна је

${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$

ако овај лимес постоји.

Ред конвергира апсолутно за и униформно на сваком непрекидном подскупу { : | − | < }.

За , се не може у општем случају рећи да ли ред конвергира или дивергира. Међутим, Абелова теорема каже да је сума реда непрекидна на ако ред конвергира на .

Операције са степеним редовима

Сабирање и одузимање

Када се две функције, и декомпонују у степени ред око истог центра , степени ред збира или разлике функција се може наћи сабирањем или одузимањем члан по члан. То јест, ако:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}$

онда

${\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}}$

Множење и дељење

Уз исте дефиниције као и горе, степени ред производа или количника функција се може добити на следећи начин:

${\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}$

Низ ${\displaystyle m_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ је познат као конволуција низова ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$.

Приметимо, за дељење:

${\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$

${\displaystyle f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)}$

а затим се користе горњи изрази, упоређујући коефицијенте.

Диференцирање и интеграција

Ако је функција дата као стпеени ред, она је непрекидна где год конвергира, и диференцијабилна је на унутрашњости овог скупа. Може се диференцирати или интегралити врло једноставно, члан по члан:

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}}$

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+C}$

Оба ова реда имају исти радијус конвергенције као и почетни.

Аналитичке функције

Функција дефинисана на неком отвореном подскупу од или се назива аналитичком ако је локално задата степеним редом. Ово значи да свако ∈ има отворену околину ⊆ , такву да постоји степени ред са центром који конвергира функцији за свако ∈ .

Сваки степени ред са позитивним радијусом конвергенције је аналитички на унутрашњости своје области конвергенције. Све холоморфне функције су комплексно-аналитичке. Суме и производи аналитичких функција су аналитичке, као и количници, све док именилац није нула.

Формални степени редови

У апстрактној алгебри, покушава се да се извуче суштина степених редова, без ограничавања на поља реалних и комплексних бројева и без потребе да се говори о конвергенцији. Ово доводи до концепта формалног степеног реда. Овај концепт је од великог значаја у комбинаторици.

Степени редови више променљивих

Степени редови више променљивих су дефинисани на следећи начин

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{kc_{k}\right)^{j_{k}},}$

где је вектор природних бројева, коефицијенти су обично реални или комплексни бројеви, а центар и аргумент су обично реални или комплексни вектори. Једноставнија нотација је

${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}$

Спољашње везе

• Формални степени редови на сајту
• Степени редови на сајту