Тејлоров полином

израз функције као бесконачан збир From Wikipedia, the free encyclopedia

Тејлоров полином
Remove ads

Тејлорови редови се користе у анализи да се представи дата функција у околини неке тачке по избору као бесконачна сума чланова који се израчунавају из вредности извода функције у тој тачци.[1][2][3] Ови редови су добили име по математичару Бруку Тејлору. Сродне тема је наравно Тејлорова формула, којом се служимо да функцију представимо као бесконачан ред.

Thumb
Како степен Тејлоровог полинома расте, он се све више приближава функцији коју апроксимира. Слика показује функцију и Тејлорове апроксимације полиномом развијеног до следећих редова степенима 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.
Thumb
Експоненцијална функција (плаво), и сума првих +1 чланова њеног Тејлоровог реда у 0 (црвено).
Remove ads

Дефиниција

Тејлоров ред за неку сталну функцију са бесконачно пуно извода за изабрану тачку јесте дефинисан овако:

Тејлоровим остатком полинома називамо део за који се разликује функција и Тејлоров полином, тј. грешку која се при таквој апроксимацији функције полиномом прави, и он износи:

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

Када функција има више аргумената, примењујемо:

У случају да добијемо вишедимензионалну функцију, користимо се следећом методом:

где је градијент, а Хесова матрица.

Извод нултог реда од f се дефинише као сама f и (xa)0 и 0! су по дефиницији једнаки 1. Кад је a = 0, серија се исто тако назива Маклоренов ред.[4]

Remove ads

Конвергентност

Тејлоров ред не мора по правилу да конвергира за све . У ствари, он конвергира само онда када остатак, , конвергира према 0.

Када је сама степени ред око тачке , онда је Тејлоров ред идентичан са њим.

Remove ads

Примери

Маклоренов ред за било који полином је поново полином. Маклоренов ред за (1  x)−1 је геометријски ред

тако да Тејлоров ред за x−1 u  = 1

Интеграцијом горњег Маклореновог реда проналази се Маклоренов ред за −(1   x), gde означава природни логаритам:

а одговарајући Тејлоров ред за (x) у  = 1 је

Тејлоров ред за експоненцијалну функцију у је

Горњи израз важи зато што је деривација од x такође x, а 0 једнако је 1. Ово оставља чланове (x  0) у бројиоцу, а ! остају у имениоцу за сваки члан у бесконачној суми.

Пример функције која се не да апроксимирати уз помоћ Тејлорових редова

Тејлоров ред не конвергира увек ка функцији. У следећем примеру Тејлоров ред не одговара функцији ни у једној тачки:

За вредности извод горње функције је 0. То значи да за свако изабрано добијамо Тејлоров полином који је увек нула. За случај добијамо ред који конвергира само у интервалу .

Remove ads

Тејлоров ред са радијусом конвергенције већим од нуле

Многе функције можемо представити као степене редове, који су истовремено и Тејлоров ред те исте функције.

Експоненцијална функција и логаритам

У пракси овај ред конвергира често преспоро, те се зато користи следећа варијанта:

Када изаберемо за неко , овај ред конвергира ка .

Тригонометријске функције

За добијамо следеће редове:

, притом је по реду Бернулијев број.
, где је по реду Ојлеров број.
Remove ads

Списак Тејлорових редова неких уобичајених функција

Такође погледајте: Списак математичких редова
Thumb
Косинусна функција у комплексној равни.
Thumb
Осми степен апроксимације косинусне функције у комплексној равни.
Thumb
Две горње криве постављене заједно.

Следи неколико важних проширења Маклоренових редова. Сва ова проширења важе за комплексне аргументе .

Експоненцијална функција:

Природни логаритам:

Коначан геометријски ред:

Бесконачан геометријски ред:

Варијанте бесконачних геометријских редова:

Квадратни корен:

Биномни ред (укључујући квадратни корен за α = 1/2 и бесконачан геометријски ред за α = −1):

са општим биномним коефицијентима

Тригонометријске функције:

Где је Бернулијев број.

Хиперболичка функција:

Ламбертова W функција:

Бројеви , који се појављују у сумирању при развијању (x) и (x) представљају Бернулијев број. у развијању (x) је Ојлеров број.

Remove ads

Види још

Референце

Литература

Спољашње везе

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads