Трапезоидно правило

Трапезоидним правилом се служимо када нас интересује приближна вредност неког одређеног интеграла ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$. Идеја која стоји иза овог правила је апроксимација функције ${\displaystyle f(x)}$ дужи од тачке ${\displaystyle (a,f(a))}$ до ${\displaystyle (b,f(b))}$. Она је једна од Њутн-Коутс формула. Оно је једно од најчешћих правила које срећемо у пракси, пре свега због своје једноставности, а посебно је погодна за периодичне функције.

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot x+f(a)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot x+f(a)dx}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}}$

Пример трапезоидног правила

Историја

У извештају из 2016. године наводи се да је трапезоидно правило било кориштено у Вавилону, 50. године пре Исуса Христа, за интеграцију брзине Јупитера дуж еклиптике.^[1]

Грешка

Грешка при оваквој апроксимацији је:

${\displaystyle \left|E_{T}\right|\leq {(b-a)^{3} \over 12}\max _{a\leq \xi \leq b}{\left|f''(\xi )\right|}}$

До овог резултата смо дошли путем Тејлорових редова. Тејлоров ред функција око тачке ${\displaystyle a\,}$ изгледа овако:

${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots }$

Односно за тачку ${\displaystyle b\,}$:

${\displaystyle f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+{\frac {(b-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots }$

Применимо трапезоидно правило на интеграл (апроксимација интеграла је обележена црвеном бојом, а тачан интеграл плавом):

${\displaystyle {\color {blue}\int _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\color {red}{\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))}={\color {red}{\frac {h}{2}}(f(a)+\underbrace {f(a)+(b-a)f'(a)+{\frac {(b-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots } _{f(b)})}}$

Погледајмо прецизан интеграл:

${\displaystyle {\color {blue}\int _{a}^{b}f(x)dx}={\color {blue}\int _{a}^{b}\underbrace {f(a)+(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots } _{f(x)}dx}}$

${\displaystyle ={\color {blue}\int _{a}^{b}f(a)dx+\int _{a}^{b}(x-a)f'(a)dx+\int _{a}^{b}{\frac {(x-a)^{2}f''(a)}{2!}}dx+\int _{a}^{b}\dots dx}}$

${\displaystyle ={\color {blue}(b-a)f(a)+{\frac {(b-a)^{2}f'(a)}{2}}+{\frac {(b-a)^{3}f''(a)}{6}}+\dots }}$

Њихова разлика је наравно грешка:

${\displaystyle {\color {blue}\int _{a}^{b}f(x)dx}\color {red}{\frac {h}{2}}(f(a)+f(b))}=}$

${\displaystyle ={\color {blue}(b-a)f(a)+{\frac {(b-a)^{2}f'(a)}{2}}+{\frac {(b-a)^{3}f''(a)}{6}}+\dots }}$

${\displaystyle -{\color {red}{\frac {h}{2}}(f(a)+f(a)+(b-a)f'(a)+{\frac {(b-a)^{2}f''(a)}{2!}}+\dots )}=}$

${\displaystyle =-{\frac {(b-a)^{3}}{12}}f''(a)+\dots }$

Очигледно је да за ${\displaystyle h\geq 1\,}$ грешка расте до бесконачности (јер је реч о бесконачном Тејлоровом реду!), али за ${\displaystyle h<1\,}$ је све мања што „се даље иде“. Зато је најчешће овај израз једино и записан као једини релевантан.

Сложено трапезоидно правило

Када смо незадовољни резултатом, интервал можемо поделити на више мањих, за сваки појединачно израчунати приближну вредност интеграла трапезоидним правилом и после их све заједно сабрати. Тиме добијамо сложено трапезоидно правило:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)}$,

што такође можемо написати као:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\dots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})\right)}$.

Када означимо број тачака са ${\displaystyle n}$, a размак између њих са ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$, онда је грешка сложеног трапезоидног правила:

${\displaystyle \left|E_{T}\right|\leq {(b-a) \over 12}h^{2}\max _{a\leq \xi \leq b}{\left|f''(\xi )\right|}}$