У нумеричкој анализи, Њутн-Коутс формуле су класа поступака из нумеричке интеграције. Име су добиле по Исаку Њутну и математичару Роџеру Котсу.
Основа Њутн-Коутс формула су Лагранжови полиноми. Када желимо да израчунамо одређен интеграл неке дате функције (
), прво апроксимирамо дату функцију Лагранжовим полиномом па после израчунавамо интеграл тог полинома уместо функције (под претпоставком да смо добили
тачака те функције).
Значи:
![{\displaystyle f(x)\approx P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}^{n}(x),x_{i}\in [a,b]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a9fde8542441fddba1dfe7efbe1dc84756a229)

су тачке дате функције за једнако распоређених
апсциса
у интервалу
.
f(x_i) можемо да сматрамо констатама, а због правила суме при интеграцији можемо да „извучемо“ суму испред интеграла:

зависи само од тачака
, али не и од функције
. Наша апроксимација постаје:

представљају Коутс бројеве,
, који имају особине:


За мали број тачака, ове формуле су добиле посебна имена (
):
за
,
,
је број тачака;
за
.
n | име | Формула | Грешка ( ) |
1 | трапезоидно правило |  |  |
2 | Симпсоново правило |  |  |
3 | Правило 3/8 |  |  |
4 | Милнеово правило |  | Прекорачена је граница дубине језичког претварача (10)\frac {8\,h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )}"/> |
За велики број тачака у интервалу (
) овај метод постаје неприменљив. Са једне стране захтева много тачака, а са друге наступају грешке у рачуну; за
и
добићемо чак негативне тежине.
Да бисмо добили прецизан резултат, размак између тачака h мора да буде прилично мали, што за велики интервал
то неће бити случај. Једно од могућих решења је да интервал поделимо на више мањих и онда да на сваком појединачно извршимо нумеричку интеграцију.