Успонска функција

Успонска функција (или рампа функција) је унарна функција над пољем реалних бројева. Дефинише се као просек улазне променљиве и њене апсолутне вредности.

График успонске функције

Ова функција се доста користи у инжењерству (нпр. у теорији обраде сигнала). Име је добила због изгледа њеног графика.

Дефиниције

Успонска функција (${\displaystyle R(x):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$) се аналитички може дефинисати на више начина. Неке од дефиниција су:

• Преко система једначина:

  ${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}}$

• Преко функције максимума:

  ${\displaystyle R(x):=\operatorname {max} (x,0)}$

• Као просек улазне променљиве и њене апсолутне вредности:

  ${\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}$

до чега се може доћи и гледајући дефиницију функције ${\displaystyle \operatorname {max} (a,b)}$,

${\displaystyle \operatorname {max} (a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}$

за ${\displaystyle a=x}$ и ${\displaystyle b=0}$

• Множењем улазне променљиве са :

  ${\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}$

• Конволуцијом Хевисајдове функције са самом собом:

  ${\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}$

• Интеграцијом Хевисајдове функције:

  ${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,\mathrm {d} \xi }$

Аналитичка својства

Ненегативност

Успонска функција је ненегативна на целом њеном домену, па јој је апсолутна вредност једнака самој себи.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geqslant 0}$

и

${\displaystyle \left|R\left(x\right)\right|=R\left(x\right)}$

Извод

Извод успонске функције је Хевисајдова функција:

${\displaystyle R'(x)=H(x)}$ за ${\displaystyle x\neq 0}$

Други извод

Успонска функција ${\displaystyle R(x)}$ задовољава следећу диференцијалну једначину:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0}),}$

где је ${\displaystyle \delta (x)}$ Диракова делта функција. Ово значи да је успонска функција ${\displaystyle R(x)}$ заправо Гринова функција за оператор другог извода. То значи да свака непрекидна функција ${\displaystyle f(x)}$, са другим изводом ${\displaystyle f''(x)}$, задовољава једначину:

${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-x_{0})f''(x_{0})\operatorname {d} x_{0},}$

за ${\displaystyle a<x<b}$.

Фуријеова трансформација

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},}$

где је ${\displaystyle \delta (x)}$ Диракова делта функција (у једначини изнад се појављује њен извод).

Лапласова трансформација

Једнострана Лапласова трансформација успонске функције ${\displaystyle R(x)}$ је дата као:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Види још

• Хевисајдова функција
• Диракова делта функција