Лапласова трансформација

Лапласова трансформација (названа по Пјер-Симон Лапласу) је интегрална трансформација, која дату каузалну функцију f(t) (оригинал) пресликава из временског домена (t = време) у функцију F(s) у комплексном спектралном домену.^[1] Лапласова трансформација, иако је добила име у његову част, јер је ову трансформацију користио у свом раду о теорији вероватноће, трансформацију је заправо открио Леонард Ојлер, швајцарски математичар из осамнаестог века.

Појам оригинала

Функција t->f(t) назива се оригиналом ако испуњава следеће услове:

1. f је интеграбилна на сваком коначном интервалу t осе

2. за свако t<0, f(t)=0

3. постоје M и s₀, тако да је ${\displaystyle |f(t)|\leq Me^{s_{0}t}}$

Дефиниција Лапласове трансформације

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.\qquad (s=\sigma +\mathrm {i} \omega$ ;\quad \sigma >0;\quad t\geq 0)}

Функција F(s) је »слика« или лапласова трансформација »оригинала« f(t).

За случај да је ${\displaystyle s=i\omega }$ добија се једнострана Фуријеова трансформација:

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}$

${\displaystyle ={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t.}$

Особине

Линеарност

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}f_{k}(t)\}=\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}F_{k}(s)}$

Теорема сличности

Ако је ${\displaystyle a>0}$, тада је ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(at)\}={1 \over a}F({s \over a})}$, при чему је ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)}$

Диференцирање оригинала

Ако је ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)}$, тада је ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{\prime }(t)\}=sF(s)-f(0)}$

Диференцирање слике

Ако је ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)}$, тада је ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F^{\prime }(s)}$, односно индукцијом се потврђује да важи ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)}$

Интеграција оригинала

Ако је ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)}$, тада је ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\int _{0}^{t}t(\tau )d\tau \}={1 \over s}F(s)}$

Интеграција слике

Ако постоји интеграл ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }F(s)ds}$, тада је ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{f(t) \over t}\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )d\sigma }$

Теорема померања

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{e^{s_{0}t}f(t)}\}=F(s-s_{0})}$

Теорема кашњења

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{{f(t-\tau )}\}=e^{-s\tau }F(s),\tau \geq 0}$

Лапласова трансформација конволуције функција

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}}$

Ова особина је позната као Борелова теорема. Напомена: дефиниција конволуције је: ${\displaystyle (f\ast g)(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-t)\cdot g(t)\cdot dt=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\cdot g(x-t)\cdot dt}$

Лапласова трансформација периодичних функција

Ако ${\displaystyle f(t)}$ има особину ${\displaystyle f(t+T)=f(t)}$, тада важи ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int _{0}^{T}{e^{-su} \over {1-e^{-sT}}}f(u)du}$

Доказ

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u}+\int _{T}^{2T}e^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+T}\int _{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt{\mid }_{t=u+2T}+...\,}$

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-st}f(u)du+\int _{T}^{2T}e^{-s(u+T)}f(u+T)du+\int _{2T}^{3T}e^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+...\,}$

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-sT}\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-2sT}\int _{0}^{T}e^{-su}f(u)dT+...\,}$

${\displaystyle {\mathcal {\,}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-2sT}+...)\int _{0}^{T}e^{-sT}f(T)du{\mid }_{u=t}\,}$

Одакле следи: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$

Табела најчешће коришћених Лапласових трансформација

Једнострана Лапласова трансформација има смисла само за не-негативне вредности , стога су све временске функције у табели поможене са Хевисајдовом функцијом.

ID	Функција	Временски домен ${\displaystyle x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}}$	Лапласов -домен (фреквентни домен) ${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$	Област конвергенције за каузалне системе
1	идеално кашњење	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$
1a	јединични импулс	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \mathrm {} \ s\,}$
2	закашњени -ти степен са фреквенцијским померањем	${\displaystyle {\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2a	-ти степен (за цео број )	${\displaystyle {t^{n} \over n!}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{n+1}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2a.1	-ти степен (за реално )	${\displaystyle {t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{q+1}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2a.2	Хевисајдова функција	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2b	закашњена Хевисајдова функција	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {e^{-\tau s} \over s}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2c	рампа функција	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
2d	фреквенцијско померање -тог реда	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \,}$
2d.1	експоненцијално опадање	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \ }$
3	експоненцијално приближавање	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ }$
4	синус	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ }$
5	косинус	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\ }$
6	синус хиперболикус	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\ }$
7	косинус хиперболикус	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\ }$
8	експоненцијално опадајући синус	${\displaystyle e^{\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ }$
9	експоненцијално опадајући косинус	${\displaystyle e^{\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s-\alpha \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \ }$
10	-ти корен	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
11	природни логаритам	${\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle 1 \over s}\,\left[\ln(s)+\gamma \right]}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
12	Беселова функција прве врсте, реда	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$ ${\displaystyle (n>-1)\,}$
13	модификована Беселова функција прве врсте, реда	${\displaystyle I_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>|\omega |\,}$
14	Беселова функција друге врсте, нултог реда	${\displaystyle Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{2\sinh ^{-1}(s/\alpha ) \over \pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
15	модификована Беселова функција друге врсте, нултог реда	${\displaystyle K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)}$
16	функција грешке	${\displaystyle \mathrm {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {e^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}}$	${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}>0\,}$
Објашњења: ${\displaystyle u(t)\,}$ представља Хевисајдову функцију. ${\displaystyle \delta (t)\,}$ представља Диракову делта функцију. ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ представља Гама функцију. ${\displaystyle \gamma \,}$ је Ојлер-Маскеронијева константа. ${\displaystyle t\,}$, је реалан број који обично представља време, иако може да се односи на било коју димензију. ${\displaystyle s\,}$ је комплексна угаона фреквенција, а ${\displaystyle {\textrm {Re}}\{s\}}$ је њен реални део. ${\displaystyle \alpha \,}$, ${\displaystyle \beta \,}$, ${\displaystyle \tau \,}$, and ${\displaystyle \omega \,}$ су реални бројеви. ${\displaystyle n\,}$, је цео број. Каузални систем је систем у коме је импулсни одзив нула за свако време . Види још: каузалност.

Инверзна Лапласова трансформација

У општем случају, оригинал f(t) дате слике F(s) добија се решавањем Бромвичовог интеграла:

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\gamma -\imath \infty }^{\gamma +\imath \infty }e^{st}F(s)\,ds\qquad \gamma >s_{0},}$

где је ${\displaystyle s_{0}}$ реални део било ког сингуларитета функције ${\displaystyle F(s)}$.

С обзиром да се овде интеграли комплексна променљива, потребно је користити методе комплексне математичке анализе. Многи примери инверзне Лапласове трансформације наведени су у табели изнад. У пракси, функције се трансформишу у примере из таблице, на пример разлагањем на просте факторе.

Дискретна Лапласова трансформација

За функцију целобројне променљиве ${\displaystyle f(n)}$ њена дискретна Лапласова трансформација се дефинише као:

${\displaystyle F^{\ast }(s)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-sn}f(n)}$

Конвергенција овог реда зависи од ${\displaystyle s}$.

Све особине и теореме регуларне Лапласове трансформације имају своје еквиваленте у дискретној Лапласовој трансформацији.

Примена

У математици Лапласова трансформација се користи за анализирање линеарних, временски непроменљивих система, као: електричних кола, хармонијских осцилатора, оптичких уређаја и механичких система. Има примене у решавању диференцијалних једначина и теорији вероватноће.