Hi-kvadratna raspodela

U teoriji verovatnoće i statistici, hi-kvadratna raspodela (takođe hi-kvadrat ili χ²-raspodela) sa k stepena slobode je distribucija sume kvadrata k nezavisnih standardno normalnih randomnih promenljivih. Hi-kvadratna distribucija je specijalni slučaj gama distribucije i jedna je od od najšire korištenih distribucija verovatnoće u inferencijskoj statistici, naročito u testiranju hipoteza ili u konstrukciji intervala pouzdanosti.^[2][3][4][5] Kada se pravi razlika od opštije necentralne hi-kvadratne raspodele, ova distribucija se ponekad naziva centralnom hi-kvadratnom raspodelom.

Hi-kvadrat

Funkcija gustine verovatnoće
Funkcija kumulativne raspodele
Notacija	${\displaystyle \chi ^{2}(k)\;}$ ili ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\!}$
Parametri	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{>0}~~}$ (poznati kao „stepeni sloboda”)
Nositelj	${\displaystyle x\in (0,+\infty )\;}$ ako je ${\displaystyle k=1}$, inače ${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;}$
Prosek	${\displaystyle k}$
Medijana	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$
Modus	${\displaystyle \max(k-2,0)\;}$
Varijansa	${\displaystyle 2k\;}$
Koef. asimetrije	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}$
Kurtoza	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$
Entropija	${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\log(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{aligned}}}$
MGF	${\displaystyle (1-2t)^{-k/2}{\text{ za }}t<{\frac {1}{2}}\;}$
CF	${\displaystyle (1-2it)^{-k/2}}$      [1]
PGF	${\displaystyle (1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ za }}0<t<{\sqrt {e}}\;}$

Hi-kvadratna raspodela se koristi u uobičajenim hi-kvadratnim testovima^[6][7] za adekvatnost uklapanja posmatrane distribucije u teorijski očekivanu, nezavisnost dva kriterijuma klasifikacije kvalitativnih podataka, i procenu intervala pouzdanosti za populaciju standardnih devijacija normalne distribucije iz standardne devijacije uzorka. Mnogi drugi statistički testovi takođe koriste ovu distribuciju, kao što je Fridmanova analiza varijanse po rangovima.

Definicija

Ako su nezavisnе, standardno normalne randomne promenljive, onda je suma njihovih kvadrata,

${\displaystyle Q\ =\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2},}$

distribuirana u skladu sa hi-kvadratnom distribucijom sa stepeni slobode. Ovo se obično označava sa

${\displaystyle Q\ \sim \ \chi ^{2}(k)\ \ {\text{or}}\ \ Q\ \sim \ \chi _{k}^{2}.}$

Hi-kvadratna distribucija ima jedan parametar: , pozitivni integer koji specificira broj stepeni slobode (broj vrednosti).

Tabela χ2 vrednosti vs -vrednosti

-vrednost je verovatnoća opservacije statističkog testa bar kao ekstrema u hi-kvadratnoj distribuciji. Shodno tome, pošto kumulativna funkcija raspodele (CDF) za odgovarajuće stepene slobode () daje verovatnoću da je dobijena vrednost manje ekstremna od ove tačke, oduzimanje CDF vrednosti od 1 daje -vrednost. Mala -vrednost, ispod izabranog nivoa značaja, ukazuje na statistički značaj, tj. dovoljan dokaz da se odbaci nulta hipoteza. Nivo značaja od 0,05 se često koristi kao granica između značajnih i neznačajnih rezultata.

Donja tabela daje broj -vrednosti koje odgovaraju sa χ² za prvih 10 stepeni slobode.

Stepeni slobode (df)	χ2 vrednost[8]
1	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1,07	1,64	2,71	3,84	6,63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1,39	2,41	3,22	4,61	5,99	9,21	13,82
3	0,35	0,58	1,01	1,42	2,37	3,66	4,64	6,25	7,81	11,34	16,27
4	0,71	1,06	1,65	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	13,28	18,47
5	1,14	1,61	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	15,09	20,52
6	1,63	2,20	3,07	3,83	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	16,81	22,46
7	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07	18,48	24,32
8	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	20,09	26,12
9	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	21,67	27,88
10	3,94	4,87	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	23,21	29,59
P vrednost (verovatnoća)	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Ove vrednosti se mogu izračunati procenom funkcije kvantila (takođe poznate kao „inverzni CDF” ili „ICDF”) raspodele hi-kvadrata;^[9] e. g., χ² ICDF za p = 0,05 i df = 7 daje 14,06714 ≈ 14,07 kao u gornjoj tabeli.