Комутативност

Појам комутативности се најчешће везује за бинарне математичке операције код којих редослед операнада не утиче на резултат операције. То је основно својство многих бинарних операција и од њега зависе многи математички докази. Најпознатије као име својства које на пример наводи да је „3 + 4 = 4 + 3” или „2 × 5 = 5 × 2”. Ово својство се такође може користити у напреднијим подешавањима. Име је потребно јер постоје операције, као што су дељење и одузимање, које га немају (на пример, „3 − 5 ≠ 5 − 3“); такве операције нису комутативне, те се називају некомутативним операцијама. Идеја да су једноставне операције, као што су множење и сабирање бројева, комутативне је много година имплицитно претпостављана. Стога ово својство није добило име све до 19. века, када је математика почела да се формализује.^[1][2] Одговарајуће својство постоји за бинарне релације; за бинарну релацију се каже да је симетрична ако се релација примењује без обзира на редослед њених операнада; на пример, једнакост је симетрична пошто су два једнака математичка објекта једнака без обзира на њихов редослед.^[3]

Математичке дефиниције

Бинарна операција ${\displaystyle *}$ на скупу S је комутативна ако је^[4][5] $${\displaystyle x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S.}$$ Операција која не задовољава горњу особину назива се некомутативном.

Може се рећи да је x комутативно са y или да су x и y комутативни у погледу ${\displaystyle *}$ ако је $${\displaystyle x*y=y*x.}$$

Другим речима, операција је комутативна ако се сваки пар елемената комутативан.

Бинарна функција ${\displaystyle f\colon A\times A\to B}$ се понекад назива комутативном ако је $${\displaystyle f(x,y)=f(y,x)\qquad {\mbox{ за свако }}x,y\in A.}$$ Таква функција се чешће назива симетричном функцијом.

Пример

Операција комутативности.

Рецимо да је дефинисана бинарна операција ${\displaystyle \otimes :M^{2}\rightarrow X}$ тако да за ${\displaystyle \forall a,b\in M}$ важи:

${\displaystyle a\otimes b=b\otimes a}$

Онда је ова операција према дефиницији комутативна.

Уопштење

Овде се може направити и уопштење за ${\displaystyle M^{n}\,}$, ${\displaystyle n\in N\land n\geq 2}$. Операција ${\displaystyle \otimes :M^{n}\rightarrow X}$ је комутативна ако за сваку ${\displaystyle (a_{1},...,a_{n})\in M^{n}}$ и сваку њену пермутацију ${\displaystyle (a_{\sigma (1)},...,a_{\sigma (n)})\,}$ важи:

${\displaystyle (a_{1},...,a_{n})=(a_{\sigma (1)},...,a_{\sigma (n)})\,}$ тј.

${\displaystyle a_{1}\otimes a_{2}\otimes \dots \otimes a_{n}=a_{\sigma (1)}\otimes a_{\sigma (2)}\otimes \dots \otimes a_{\sigma (n)}}$

Историја и етимологија

Прва позната употреба термина била је у француском часопису објављеном 1814. године

Записи о имплицитној употреби комутативног својства сежу у давна времена. Египћани су користили комутативно својство множења да би поједноставили рачунарске производе.^[6][7] Познато је да је Еуклид преузео комутативно својство множења у својој књизи Елементи.^[8] Формална употреба комутативног својства настала је крајем 18. и почетком 19. века, када су математичари почели да раде на теорији функција. Данас је комутативно својство добро познато и основно својство које се користи у већини грана математике.

Прва забележена употреба термина комутативно била је у мемоарима Франсоа Сервоа из 1814. године,^[1][9] који је користио реч комутативни када је описивао функције које имају оно што се данас зове комутативно својство. Реч је комбинација француске речи commuter што значи „заменити или променити” и суфикса -ative што значи „тежња ка”, тако да реч дословно значи „тежња да се замени или промени”. Термин се тада појавио на енглеском 1838. године^[2] у чланку Данкана Фаркухарсона Грегорија под насловом „О стварној природи симболичке алгебре“ објављеном 1840. године у часопису Transactions of the Royal Society of Edinburgh.^[10]

Пропозициона логика

Правило замене

У истинитосно-функционалној пропозиционој логици, комутација^[11][12] или комутативност^[13] се односи на два важећа правила замене. Правила дозвољавају транспоновање пропозиционих променљивих унутар логичких израза у логичким доказима. Правила су:

${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$

и

${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$

где је „${\displaystyle \Leftrightarrow }$” металогички симбол који представља „може се заменити у доказу са”.

Истиносно функционални спојеви

Комутативност је својство неких логичких спојева истинито функционалне пропозиционе логике. Следеће логичке еквиваленције показују да је комутативност својство одређених веза. Следе истинитосно-функционалне таутологије.

Комутативност конјункције

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

Комутативност дисјункције

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

Комутативност импликације (назива се и закон пермутације)

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))}$

Комутативност еквиваленције (назива се и потпуни комутативни закон еквиваленције)

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

Теорија скупова

У теорији група и скупова, многе алгебарске структуре се називају комутативним када одређени операнди задовоље комутативно својство. У вишим гранама математике, као што су анализа и линеарна алгебра, комутативност добро познатих операција (као што су сабирање и множење на реалним и комплексним бројевима) се често користи (или имплицитно претпоставља) у доказима.^[14][15][16]

Математичке структуре и комутативност

• Комутативна полугрупа је скуп који има тоталну, асоцијативну и комутативну операцију.^[17][18]
• Ако операција додатно има елемент идентитета, постоји комутативни моноид.^[19]
• Абелова група, или комутативна група је група чија је групна операција комутативна.^[15]
• Комутативни прстен је прстен чије је множење комутативно. (Сабирање у прстену је увек комутативно.)^[20]
• У пољу су и сабирање и множење комутативни.^[21]

Види још

• Асоцијативност
• Антикомутативност
• Дистрибутивност