Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori

U linearnoj algebri, sopstveni vektor, svojstveni vektor ili karakteristični vektor linearne transformacije je nenulti vektor koji se menja jedino skalarnim faktorom kad se linearne transformacije primene na njega. Formalnije, ako je T linearna transformacija iz vektorskog prostora V nad poljem F u samog sebe i ako je v vektor u V koji nije nulti vektor, onda je v svojstveni vektor od T ako je T(v) skalarni umnožak od v. Ovo stanje se može zapisati kao jednačina

${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$

gde je λ skalar u polju F, poznat kao svojstvena vrednost, karakteristična vrednost, ili karakteristični koren asociran sa svojstvenim vektorom v.

Ako je vektorski prostor V konačnih dimenzija, onda se linearna transformacija T može predstaviti kao kvadratna matrica A, a vektor v pomoću kolonskog vektora, prikazujući gornje mapiranje kao matrično množenje sa leve strane i skaliranje kolonskih vektora sa desne strane jednačine

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$

Postoji direktna podudarnost između kvadratnih matrica oblika -sa- i linearnih transformacija iz -dimenzionalnog vektorskog prostora u samog sebe, za sve baze vektorskog prostora. Iz tog razloga, ekvivalentno je definisati sopstvene vrednosti i svojstvene vektore koristeći bilo jezik matrica ili jezik linearnih transformacija.^[1][2]

Geometrijski gledano, svojstveni vektor koji korespondira realnoj nenultoj svojstvenoj vrednosti, usmeren je u pravcu koji je određen transformacijom, a svojstvena vrednost je faktor kojim se menja njegova dužina. Ako je svojstvena vrednost negativna, smer je obrnut.^[3]

Pregled

Svojstvene vrednosti i svojstveni vektori imaju značajnu ulogu u analizi linearnih transformacija. Njihovi engleski nazivi i sadrže prefiks koji je usvojen iz nemačke reči za „vlastiti」, „karakterističan」.^[4] Prvobitno korišćeni za proučavanje glavnih osa rotacionog kretanja krutih tela, svojstvene vrednosti i svojstveni vektori imaju širok spektar primena, na primer u analizi stabilnosti, analizi vibracija, atomskim orbitalima, prepoznavanju lica i dijagonalizaciji matrice.

U suštini, svojstveni vektor linearne transformacije je nenulti vektor koji, kada se primeni na njega, ne menja pravac. Primena na svojstveni vektor skalira svojstveni vektor samo za skalarnu vrednost λ, svojstvenu vrednost. Ovaj uslov se može napisati kao jednačina

${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$

zvana svojstvena jednačina. Generalno, λ može da bude bilo koji skalar. Na primer, λ može da bude negativno, u kom slučaju svojstveni vektor ima suprotan smer kao deo skaliranja, ili može biti nula ili kompleksan.

U ovom preslikavanju crvena strelica menja smer, dok plava to ne čini. Plava strelica je svojstveni vektor ovog preseka, jer ne menja pravac, i pošto je njena dužina nepromenjena, njena svojstvena vrednost je 1.

Primer Mona Lize na slici desno pruža jednostavnu ilustraciju. Svaka tačka na slici može biti predstavljena kao vektor umeren od centra slike do te tačke. Linearna transformacija u ovom primeru naziva se preslikavanje. Tačke u gornjoj polovini pomeraju se udesno, a tačke u donjoj polovini pomeraju se ulevo proporcionalno svom rastojanju od horizontalne ose koja prolazi kroz sredinu slike. Vektori koji upućuju na svaku tačku na originalnoj slici su prema tome nagnuti desno ili levo i učinjeni dužim ili kraćim transformacijom. Tačke duž horizontalne ose se uopšte ne pomeraju kada se primeni ova transformacija. Prema tome, bilo koji vektor koji je usmeren direktno na desno ili levo bez vertikalne komponente je svojstveni vektor ove transformacije, jer mapiranje ne menja njegov pravac. Štaviše, svi svojstveni vektori imaju svojstvenu vrednost jednaku jedinici, jer mapiranje ne menja njihovu dužinu.

Linearne transformacije mogu imati različite oblike, mapirajući vektore u različitim vektorskim prostorima, tako da i svojstveni vektori mogu imati različite oblike. Na primer, linearna transformacija može biti diferencijalni operator kao što je ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$, u kom slučaju su svojstveni vektori funkcije koje se nazivaju svojstvene funkcije koje su skalirane tim diferencijalnim operatorom, kao što je

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.}$

Alternativno, linearna transformacija može biti u obliku sa matrice, u kom slučaju svojstveni vektori su sa 1 matrice koje se takođe nazivaju svojstvenim vektorima. Ako je linearna transformacija izražena u obliku sa matrice , onda se gornja jednačina svojstvenih vrednosti za linearnu transformaciju može napisati kao množenje matrica

${\displaystyle Av=\lambda v,}$

gde je svojstveni vektor jedna sa 1 matrica. Za matricu, svojstvene vrednosti i svojstveni vektori mogu se koristiti za razlaganje matrice, na primer dijagonalizacijom.

Svojstvene vrednosti i svojstveni vektori pružaju osnovu za mnoge usko povezane matematičke koncepte, koji su imenovani na analogan način:

• Skup svih svojstvenih vektora linearne transformacije, svaki uparen sa odgovarajućom svojstvenom vrednošću, naziva se sopstveni sistem te transformacije.^[5][6]
• Skup svih svojstvenih vektora koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrednosti, zajedno sa nultim vektorom, naziva se svojstveni prostor ili od .^[7][8]
• Ako skup svojstvenih vektora čini bazu domena , onda se ova baza naziva svojstvenom bazom.