L-функција

L-функције се истражују у аналитичкој теорији бројева и сродним математичким областима. Прототипски пример L-функције је Риманова зета-функција.^[1] L-функције деле фундаменталне особине са Римановом зета-функцијом, те представљају њене генерализације.

Прототип свих L-функција: Риманова зета-функција у комплексној равни. Нулта тачка, односно координатни почетак комплексне равни, налази се тачно у средини дијаграма. Различите боје кодирају различита аргумента комплексних вредности функције. Светли тонови показују вредности функције са великом апсолутном вредношћу, док тамни тонови означавају ниску вредност, близу нуле.

Теорија L-функција постала је веома значајан, и још увек у великој мери конјектуралан, део савремене аналитичке теорије бројева. У оквиру ове теорије, конструишу се широке генерализације Риманове зета-функције и L-редова за Дирихлеов карактер, а њихова општа својства, у већини случајева још увек ван домашаја доказа, систематски се излажу. Због формуле Ојлеровог производа, постоји дубока веза између L-функција и теорије простих бројева.

Фундаменталне особине које L-функције деле са Римановом зета-функцијом укључују:

• У одређеном делу комплексне равни, L-функција се поклапа са Дирихлеовим редом и Ојлеровим производом, који обоје апсолутно конвергирају.
• L-функција, која је првобитно дефинисана само у том делу равни, може се аналитички наставити у мероморфну функцију на целој комплексној равни.
• Настављена L-функција задовољава функционалну једначину одређеног типа.

На основу темељних радова Леонарда Ојлера (1707–1783) на функцији која се данас назива Риманова зета-функција, математичари Бернхард Риман (1826–1866), Петер Густав Дирихле (1805–1859), Рихард Дедекинд (1831–1916), Ерих Хеке (1887–1947) и Емил Артин (1898–1962) истраживали су основне подкласе L-функција, које данас носе њихова имена.

Истраживање у циљу проналажења опште и јединствене дефиниције појма „L-функција」, која би омогућила доказивање жељених и делимично још недоказаних својстава, још увек није завршено. Штавише, један од важних циљева аналитичке теорије бројева јесте да се разјасни најсмисленија дефиниција овог појма. У том правцу, Атле Селберг (1917–2007) је 1989. године предложио аксиоматску дефиницију класе свих L-функција, која данас носи назив „Селбергова класа」.^[2] Да ли овај или други предлози дефиниције већ обухватају сва пожељна својства L-функција и искључују непожељна, још увек није коначно разјашњено. Математичке претпоставке (тј. недоказане, али сматране вероватним или пожељним изјаве о својствима L-функција) и даље обликују теорију L-функција, која стога остаје област интензивних математичких истраживања.

Појмови „L-функција」 и „зета-функција」 се често користе синонимно. Ипак, не спадају све математичке функције чији назив садржи појам „зета-функција」 у L-функције. На пример, примзета-функција не спада у L-функције, јер се не може аналитички наставити на целу комплексну раван.

Дефиниција

Као што је поменуто у уводу, још увек не постоји општа, јединствена и широко прихваћена дефиниција појма „L-функција」. Наредни приступ дефиницији следи онај који су дали математичари Хенрик Ивањец и Емануел Ковалски у свом уџбенику о аналитичкој теорији бројева.^[3] Овај приступ је местимично апстрактан и непотпун у смислу да не прецизира „аритметичке објекте」 којима додељује „L-функцију」, као ни тачан механизам те доделе. Међутим, он обухвата својства која се генерално очекују од L-функција и омогућава објашњење кључних карактеристика ових функција. Такође, уводе се и други основни појмови теорије L-функција.

Нека је ${\displaystyle \textstyle f}$ — у оквиру ове апстрактне дефиниције неспецификован — аритметички објекат, нпр. Дирихлеов карактер или алгебарски бројни поље. Овом аритметичком објекту ${\displaystyle \textstyle f}$ придружена је функција ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$, која пресликава комплексне аргументе ${\displaystyle \textstyle s\in \mathbb {C} }$ у комплексне вредности. Ивањец и Ковалски називају такву функцију ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ L-функцијом ако су објекту ${\displaystyle \textstyle f}$ придружени следећи математички објекти (видети Д-1 до Д-6) који испуњавају наведене услове (видети У-1 до У-9):

Д-1

Дирихлеов ред и Ојлеров производ: Аритметичком објекту ${\displaystyle \textstyle f}$ придружени су Дирихлеов ред, који се назива и L-ред,

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda (f,n)n^{-s}}$,

и Ојлеров производ:

${\displaystyle \prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}}$.

Притом је ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)\in \mathbb {C} }$ за све природне бројеве ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,1)=1}$. ${\displaystyle \textstyle \mathbb {P} }$ симболизује скуп свих простих бројева. Природан број ${\displaystyle \textstyle d\in \mathbb {N} }$ назива се степен Ојлеровог производа или степен L-функције ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$. За сваки прост број ${\displaystyle \textstyle p}$ и свако ${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$, ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)\in \mathbb {C} }$. Комплексни бројеви ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)}$ називају се локални корени или локални параметри од ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ у ${\displaystyle p}$. За дато ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, израз

${\displaystyle (1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}}$,

тј. ${\displaystyle p}$-ти фактор у Ојлеровом производу, назива се Ојлеров фактор од ${\displaystyle L(f,s)}$ у ${\displaystyle p}$.

Д-2

Гама-фактор: Објекту ${\displaystyle \textstyle f}$ је такође придружен гама-фактор

${\displaystyle \gamma (f,s)=\pi ^{-ds/2}\prod _{j=1}^{d}\Gamma \left({\frac {s+\kappa _{j}}{2}}\right)}$

где је ${\displaystyle \textstyle \Gamma }$ гама-функција, ${\displaystyle \textstyle \pi }$ број пи, а ${\displaystyle \textstyle d}$ горе поменути степен L-функције. Параметри ${\displaystyle \textstyle \kappa _{j}}$ су комплексни бројеви. Они се називају локални параметри од ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ у бесконачности или на бесконачној простој тачки.

Д-3

Кондуктор: Објекту ${\displaystyle \textstyle f}$ је такође придружен природан број

${\displaystyle q(f)\in \mathbb {N} }$,

који се назива кондуктор (водич) од ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$. Прости бројеви ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ који не деле ${\displaystyle \textstyle q(f)}$ називају се неразгранати у односу на ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$.

Д-4

Комплетирана L-функција: Помоћу Дирихлеовог реда, гама-фактора и кондуктора који су придружени ${\displaystyle \textstyle f}$, дефинише се комплетирана L-функција од ${\displaystyle \textstyle f}$:

${\displaystyle \Lambda (f,s)=q(f)^{s/2}\gamma (f,s)L(f,s).}$

Д-5

Коренски број: Објекту ${\displaystyle \textstyle f}$ је такође придружен комплексан број

${\displaystyle \epsilon (f)\in \mathbb {C} }$

који се назива коренски број од ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$.

Д-6

Дуални аритметички објекат: На крају, ${\displaystyle \textstyle f}$ је придружен још један аритметички објекат, који у оквиру ове апстрактне дефиниције није ближе специфициран. Он се назива дуал од ${\displaystyle \textstyle f}$ и означава са ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$. Као и у случају ${\displaystyle \textstyle f}$, и ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ су придружени Дирихлеов ред, Ојлеров производ, гама-фактор, кондуктор и комплетирана L-функција. Ако је ${\displaystyle \textstyle f={\bar {f}}}$, онда се ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ назива самодуалном, што значи да је ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)\in \mathbb {R} }$ за све ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$.^[4]

Наведени објекти придружени аритметичком објекту ${\displaystyle \textstyle f}$ морају задовољити следеће услове да би ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$ била L-функција према Ивањецу и Ковалском:

• У-1: Апсолутна вредност локалних параметара у ${\displaystyle \textstyle p}$: За сваки прост број ${\displaystyle \textstyle p}$ и свако ${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$ важи ${\displaystyle \textstyle |\alpha _{i}(f,p)|<p}$.
• У-2: Вредности локалних параметара за неразгранато ${\displaystyle \textstyle p}$: За све просте бројеве ${\displaystyle \textstyle p}$ који су неразгранати у односу на ${\displaystyle \textstyle L(f,s)}$, и за свако ${\displaystyle \textstyle i\in \{1,\ldots ,d\}}$, важи ${\displaystyle \textstyle \alpha _{i}(f,p)\neq 0}$.
• У-3: Захтеви за локалне параметре у бесконачности: Параметри ${\displaystyle \textstyle \kappa _{j}}$ су или реални или се појављују у комплексно коњугованим паровима у гама-фактору ${\displaystyle \textstyle \gamma (f,s)}$. Такође, ${\displaystyle \textstyle \Re (\kappa _{j})>-1}$ за свако ${\displaystyle \textstyle j\in \{1,\ldots ,d\}}$. Овај последњи услов осигурава да ${\displaystyle \textstyle \gamma (f,s)}$ нема нула у ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$ и нема полова са ${\displaystyle \textstyle \Re (s)\geq 1}$. ${\displaystyle \textstyle \Re }$ означава реални део комплексног броја.
• У-4: Апсолутна конвергенција Дирихлеовог реда и Ојлеровог производа: И Дирихлеов ред и Ојлеров производ, придружени ${\displaystyle \textstyle f}$, апсолутно конвергирају за ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$.
• У-5: Подударност L-функције, Дирихлеовог реда и Ојлеровог производа у комплексној полуравни: L-функција, Дирихлеов ред и Ојлеров производ, придружени ${\displaystyle \textstyle f}$, поклапају се у комплексној полуравни ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$:

${\displaystyle L(f,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\lambda (f,n)n^{-s}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\alpha _{1}(f,p)p^{-s})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-\alpha _{d}(f,p)p^{-s})^{-1}.}$

• У-6: Аналитички наставак и полови: Из услова које мора задовољити Дирихлеов ред придружен ${\displaystyle \textstyle f}$ следи холоморфност комплетиране L-функције ${\displaystyle \textstyle \Lambda (f,s)}$ у полуравни ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$. Међутим, она мора имати и аналитички наставак у мероморфну функцију реда 1 на целом ${\displaystyle \mathbb {C} }$, која има полове највише у ${\displaystyle \textstyle s=0}$ и ${\displaystyle \textstyle s=1}$.
• У-7: Апсолутна вредност коренског броја: Коренски број ${\displaystyle \textstyle \epsilon (f)\in \mathbb {C} }$ има апсолутну вредност 1. Дакле: ${\displaystyle \textstyle |\epsilon (f)|=1}$.
• У-8: Захтеви за објекте придружене дуалу од ${\displaystyle \textstyle f}$: Што се тиче дуала ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ од ${\displaystyle \textstyle f}$, мора важити: ${\displaystyle \textstyle \lambda ({\bar {f}},n)={\overline {\lambda (f,n)}}}$ за све ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$, као и ${\displaystyle \textstyle \gamma ({\bar {f}},s)=\gamma (f,s)}$ и ${\displaystyle \textstyle q({\bar {f}})=q(f)}$. То значи: у Дирихлеовом реду придруженом ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$, ${\displaystyle \textstyle \lambda }$-коефицијенти су комплексно коњуговани бројеви ${\displaystyle \textstyle \lambda }$-коефицијената у Дирихлеовом реду придруженом ${\displaystyle \textstyle f}$. Гама-фактори и кондуктори придружени ${\displaystyle \textstyle f}$ и ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$ се поклапају.
• У-9: Функционална једначина: Две комплетиране L-функције, придружене ${\displaystyle \textstyle f}$ и ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}}$, задовољавају функционалну једначину

${\displaystyle \Lambda (f,s)=\epsilon (f)\Lambda ({\bar {f}},1-s)}$

за све ${\displaystyle \textstyle s\in \mathbb {C} }$.

Атле Селберг (1917–2007)

Дефиниција Ивањеца и Ковалског одражава чињеницу да се функција која се сматра L-функцијом обично појављује као придруживање L-функције неком математичком објекту (нпр. Дирихлеов карактер, алгебарско поље бројева). Њихов приступ је апстрактан и непотпун јер оставља отвореним питање шта су тачно ти математички објекти и како се то придруживање врши.

Без позивања на друге математичке објекте, приступ норвешко-америчког математичара Атле Селберга из 1989. године је другачији. У неапстрактној, јединственој дефиницији, он специфицира подскуп скупа свих Дирихлеових редова чији елементи морају задовољити одређена својства: апсолутна конвергенција, аналитички наставак, функционална једначина, Рамануџанова претпоставка^{[Напомена 1]} и Ојлеров производ. Овај подскуп се данас назива Селберговом класом.^[2]

Најважнија хипотеза и мотивациони оквир за дефиницију Селбергове класе је такозвана Велика Риманова хипотеза. Примењена на Селбергову класу, ова хипотеза тврди: ниједна нула аналитичког наставка Дирихлеовог реда у Селберговој класи нема реални део већи од 1/2. Ова хипотеза одговара, у случају (вероватно) најједноставнијег елемента Селбергове класе (Риманов Дирихлеов ред и његов аналитички наставак у Риманову зета-функцију), Римановој хипотези, која до данас није ни доказана ни оборена. Велика Риманова хипотеза до сада није доказана нити оборена ни за један елемент Селбергове класе.

У том светлу треба посматрати и постојеће недостатке у дефиницији појма „L-функција」: жеља је да се појам „L-функција」 дефинише тако да L-функције доказиво задовољавају Велику Риманову хипотезу — с друге стране, до сада није било могуће доказати ни најједноставнији случај (Риманова хипотеза за Риманову зета-функцију), што може бити знак недостатка разумевања Риманове зета-функције и тиме отежава јединствену дефиницију генерализујућег појма „L-функција」.

Примери L-функција

Овај одељак даје преглед основних примера L-функција.

Риманова зета-функција

Главни чланак: Риманова зета-функција

Бернхард Риман (1826–1866)

Најједноставнији пример L-функције и истовремено полазна тачка за сваку дефиницију појма „L-функција」 је Риманова зета-функција ${\displaystyle \textstyle \zeta }$.^[5] Један од могућих „аритметичких објеката」 ${\displaystyle \textstyle f}$ у смислу дефиниционог приступа Ивањеца и Ковалског, коме се ова L-функција може придружити, јесте поље ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ рационалних бројева. Њена Дирихлеова редна вредност

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}\,,}$

дакле

${\displaystyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)=1}$

за све ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$, конвергира за ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ апсолутно. Заједно са својим такође апсолутно конвергентним Ојлеровим производом важи за ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$:^[6]

${\displaystyle \zeta (s)=L(\mathbb {Q} ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-p^{-s})^{-1}.}$

Риманова зета-функција ${\displaystyle \zeta (s)}$: Контурне линије Realteil(${\displaystyle \zeta }$(s))=0, плава, и Imaginärteil(${\displaystyle \zeta }$(s))=0, љубичаста, за −5<Re(s)<3 и −25<Im(s)<65, као и „критична линија」 Re(s)=1/2, браон. За Re(s)<1, пресеци плавих и љубичастих контурних линија су нуле Риманове зета-функције.

Пошто су сви ${\displaystyle \textstyle \lambda (\mathbb {Q} ,n)}$ реални, наиме једнаки 1, ${\displaystyle \textstyle \zeta (s)}$ је самодуална. Дуални објекат од ${\displaystyle \textstyle f=\mathbb {Q} }$ је дакле такође ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$, те је ${\displaystyle \textstyle {\bar {f}}=\mathbb {Q} }$. Степен Ојлеровог производа Риманове зета-функције је

${\displaystyle d=1}$.

За њене локалне параметре у ${\displaystyle \textstyle p}$ важи:

${\displaystyle \alpha (\mathbb {Q} ,p)=1}$

за све ${\displaystyle \textstyle p\in \mathbb {P} }$. Обично се за Риманову зета-функцију користи следећи гама-фактор:

${\displaystyle \gamma (\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right).}$

Локални параметар ${\displaystyle \textstyle \kappa }$ у бесконачности је дакле 0. Кондуктор од ${\displaystyle \textstyle \zeta }$ је

${\displaystyle \textstyle q(\mathbb {Q} )=1}$,

тако да комплетирана Риманова зета-функција има облик

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s):=\gamma (\mathbb {Q} ,s)L(\mathbb {Q} ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

Ова дефиниција је важећа само за ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$, пошто се само у тој полуравни Риманова зета-функција може дефинисати преко свог Дирихлеовог реда или Ојлеровог производа. Међутим, комплетирана Риманова зета-функција има аналитички наставак у мероморфну функцију на целој комплексној равни. Овај наставак је холоморфан осим у две једноставне полне тачке у ${\displaystyle \textstyle s=0}$ и ${\displaystyle \textstyle s=1}$ са резидумима -1 односно 1.^[7] Ако се и настављена, комплетирана Риманова зета-функција означи са ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$, онда она задовољава са коренским бројем

${\displaystyle \epsilon (\mathbb {Q} )=1}$

функционалну једначину^[8]

${\displaystyle \Lambda (\mathbb {Q} ,s)=\Lambda (\mathbb {Q} ,1-s).}$

Тиме и Риманова зета-функција, која је првобитно дефинисана само за ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ преко свог Дирихлеовог реда или Ојлеровог производа, има аналитички наставак у мероморфну функцију на ${\displaystyle \mathbb {C} }$, која једино у ${\displaystyle \textstyle s=1}$ није дефинисана, јер тамо има прост пол са резидуумом 1. Ако се задржи ознака ${\displaystyle \textstyle \zeta }$ и за настављену Риманову зета-функцију, она задовољава функционалну једначину^[9]

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).}$Прекорачена је граница дубине језичког претварача (10)\frac {1-s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s).}"/>

(Аналитички настављена) Риманова зета-функција крије једно од најважнијих питања аналитичке теорије бројева, а то је питање тачне локације њених такозваних нетривијалних нула. Оне се налазе у критичном појасу ${\displaystyle \textstyle 0<\Re (s)<1}$. Риманова хипотеза из 1859. године — до данас ни доказана нити оповргнута — поставља тезу да све нетривијалне нуле Риманове зета-функције имају реални део 1/2. Доказ ове хипотезе омогућио би посебно добре процене о расподели простих бројева.

Дирихлеове L-функције

Главни чланак: Дирихлеова L-функција

Петер Густав Дирихле (1805–1859)

Најближи сродници Риманове зета-функције су Дирихлеове L-функције, које садрже Риманову зета-функцију као посебан случај. Док су у Дирихлеовом реду који одговара Римановој зета-функцији сви ${\displaystyle \lambda }$-коефицијенти једнаки 1, код Дирихлеових L-функција они се дефинишу помоћу Дирихлеовог карактера. Они тако узимају комплексне вредности са апсолутном вредношћу 1 или су једнаки 0. Нека је за ${\displaystyle \textstyle m\in \mathbb {N} }$ дат Дирихлеов карактер модула ${\displaystyle \textstyle m}$

${\displaystyle \chi$ :(\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow S^{1}:=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}

тј. групни хомоморфизам из групе елемената инвертибилних у односу на множење у прстену остатака ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Z} /m}$ у кружну групу ${\displaystyle \textstyle S^{1}}$ комплексних бројева са апсолутном вредношћу 1. Такав Дирихлеов карактер ${\displaystyle \textstyle \chi }$ назива се примитиван, а ${\displaystyle \textstyle m}$ кондуктор од ${\displaystyle \textstyle \chi }$, ако он већ не произилази из композиције

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m)^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Z} /m')^{\times }\;{\stackrel {\chi '}{\longrightarrow }}\;S^{1}}$

из Дирихлеовог карактера ${\displaystyle \textstyle \chi '}$ модула ${\displaystyle \textstyle m'}$ са правим делитељем ${\displaystyle \textstyle m'}$ од ${\displaystyle \textstyle m}$. Помоћу таквог Дирихлеовог карактера ${\displaystyle \textstyle \chi }$ дефинише се следеће пресликавање, које се такође означава са ${\displaystyle \textstyle \chi }$ и назива Дирихлеов карактер модула ${\displaystyle \textstyle m}$:^[10]

${\displaystyle \chi$ :{\text{ }}\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ,{\text{ }}\chi (n)={\begin{cases}\chi (n\operatorname {mod} m)&{\text{falls}}\quad \operatorname {ggT} (n,m)=1\\0&{\text{falls}}\quad \operatorname {ggT} (n,m)>1.\end{cases}}}

Дирихлеова L-функција за Дирихлеов карактер ${\displaystyle \textstyle \chi }$ модула 7 са ${\displaystyle \textstyle \chi (3)=\exp(i\pi /3)}$ за комплексне бројеве s са −7 < Re(s) < 8 и −20 < Im(s) < 20: Сродност са Римановом зета-функцијом је очигледна. Ипак, постоје значајне разлике: пошто је ${\displaystyle \chi }$ нетривијални Дирихлеов карактер, приказана функција је цела. Она, дакле, нема полну тачку као Риманова зета-функција у ${\displaystyle s=1}$. У поређењу са Римановом зета-функцијом, реалне (тривијалне) нуле су померене за једну јединицу удесно. Оне су видљиве као црне тачке у -1, -3, -5 итд. на дијаграму.^[11] Црне тачке у вертикалном појасу 0<Re(s)<1 припадају бесконачном броју не-реалних (нетривијалних) нула ове Дирихлеове L-функције. Велика Риманова хипотеза очекује сваку од ових нетривијалних нула на вертикалној правој Re(s)=1/2.

Тривијални Дирихлеови карактери ${\displaystyle \textstyle \chi ^{0}}$ модула ${\displaystyle m}$ имају вредност функције 1 ако је ${\displaystyle \textstyle \operatorname {ggT} (n,m)=1}$, а иначе 0. Тривијални Дирихлеов карактер модула 1 назива се главни карактер. Он задовољава ${\displaystyle \chi (n)=1}$ за све ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Ако је сада ${\displaystyle \textstyle \chi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {C} } примитивни Дирихлеов карактер модула ${\displaystyle \textstyle m}$, онда се овом аритметичком објекту ${\displaystyle \chi }$ придружује L-функција на следећи начин: Са

${\displaystyle \lambda (\chi ,n):=\chi (n)}$

конвергира Дирихлеов ред (такође назван Дирихлеова L-вредност)

${\displaystyle L(\chi ,s):=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (\chi ,n)}{n^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

за ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$ апсолутно.^[12] Са локалним параметрима у ${\displaystyle \textstyle p}$

${\displaystyle \alpha (\chi ,p):=\chi (p)}$

ово важи и за припадајући Ојлеров производ, па имамо идентитет^[13]

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$

за ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$. Као и код Риманове зета-функције,

${\displaystyle d=1}$

је степен Ојлеровог производа. Ако се стави ${\displaystyle \textstyle \kappa =0}$ ако је ${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=1}$ (у том случају се ${\displaystyle \textstyle \chi }$ назива паран), и ${\displaystyle \textstyle \kappa =1}$ ако је ${\displaystyle \textstyle \chi (-1)=-1}$ (у том случају се ${\displaystyle \textstyle \chi }$ назива непаран), онда је

${\displaystyle \gamma (\chi ,s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)}$

гама-фактор придружен ${\displaystyle \textstyle \chi }$. То ${\displaystyle \textstyle \kappa \in \{0,1\}}$ је дакле локални параметар на бесконачној простој тачки. Кондуктор ${\displaystyle \textstyle m}$ примитивног Дирихлеовог карактера ${\displaystyle \textstyle \chi }$ је такође кондуктор Дирихлеове L-функције:

${\displaystyle q(\chi )=m}$.

Комплетирана Дирихлеова L-функција стога има облик^[14]

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s):=q(\chi )^{\frac {s}{2}}\gamma (\chi ,s)L(\chi ,s)=\left({\frac {m}{\pi }}\right)^{\frac {s}{2}}\Gamma \left({\frac {s+\kappa }{2}}\right)\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

дефиниција која важи само за ${\displaystyle \textstyle \Re (s)>1}$, пошто само ту конвергира коришћени Дирихлеов ред. Таква комплетирана Дирихлеова L-функција се може аналитички наставити на ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} }$. При томе настаје цела функција ако је ${\displaystyle \textstyle \chi }$ нетривијални Дирихлеов карактер.^[15] Иначе, настављена функција има прост пол у ${\displaystyle \textstyle s=1}$ са резидуумом 1.^[16] Дуални објекат од ${\displaystyle \textstyle \chi }$ је ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$, дакле онај Дирихлеов карактер који настаје из ${\displaystyle \textstyle \chi }$ комплексном конјугацијом вредности функције ${\displaystyle \textstyle \chi }$, тј.

${\displaystyle \textstyle {\overline {\chi }}(n)={\overline {\chi (n)}}}$

за све ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$. Коренски број ${\displaystyle \textstyle \epsilon (\chi )}$ се може израчунати помоћу Гаусове суме^[17]

${\displaystyle \tau (\chi )=\sum _{x\operatorname {mod} q(\chi )}\chi (x)\exp(2\pi ix/q(\chi ))}$

у којој се сумација протеже преко свих класа остатака модула кондуктора ${\displaystyle \textstyle q(\chi )=m}$, а ${\displaystyle \textstyle \pi }$ је број пи, ${\displaystyle \textstyle i}$ имагинарна јединица и ${\displaystyle \exp }$ експоненцијална функција. Са

${\displaystyle \epsilon (\chi )={\begin{cases}{\frac {\tau (\chi )}{\sqrt {q(\chi )}}}&{\text{falls}}\quad \chi (-1)=1\\{\frac {\tau (\chi )}{i{\sqrt {q(\chi )}}}}&{\text{falls}}\quad \chi (-1)=-1\end{cases}}}$

настављена, комплетирана Дирихлеова L-функција задовољава функционалну једначину^[18]

${\displaystyle \Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda ({\overline {\chi }},1-s).}$

Како се захтева од коренских бројева, ${\displaystyle \textstyle |\epsilon (\chi )|=1}$, јер је ${\displaystyle \textstyle |\tau (\chi )|={\sqrt {q(\chi )}}}$.^[19] Дирихлеове L-функције укључују Риманову зета-функцију, јер она настаје из тривијалног Дирихлеовог карактера модула 1, дакле главног карактера.^[20]

Немачки математичар Петер Густав Дирихле користио је 1837. године по њему назване Дирихлеове L-функције да би доказао Дирихлеову теорему о простим бројевима, по којој се у свакој аритметичкој прогресији

${\displaystyle a,a\pm n,a\pm 2n,a\pm 3n,\ldots ,{\text{ mit }}\operatorname {ggT} (a,n)=1,{\text{ wobei }}a,n\in \mathbb {N} ,}$

тј. у свакој класи остатака ${\displaystyle \textstyle a\operatorname {mod} n}$, налази бесконачно много простих бројева.^{[21] [22]} Одлучујући аргумент у доказу Дирихлеове теореме о простим бројевима је сазнање да је ${\displaystyle \textstyle \Lambda (\chi ,1)\neq 0}$ за сваки нетривијални Дирихлеов карактер ${\displaystyle \textstyle \chi }$.^[23]

Дедекиндове L-функције

Главни чланак: Дедекиндова зета-функција

Рихард Дедекинд (1831–1916)

Риманова зета-функција се односи на поље ${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$ рационалних бројева, најједноставније алгебарско поље бројева. Дедекиндове L-функције генерализују овај однос на произвољна алгебарска поља бројева. Нека је ${\displaystyle K}$ алгебарско поље бројева и ${\displaystyle n_{K}=[K:\mathbb {Q} ]\in \mathbb {N} }$ његов степен проширења над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Нека је ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ његов прстен целих бројева, а ${\displaystyle d_{K}\in \mathbb {Z} }$ његова дискриминанта. Нека су ${\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} _{0}}$ број реалних улагања и ${\displaystyle n_{2}\in \mathbb {N} _{0}}$ број парова комплексних улагања од ${\displaystyle K}$. Тада је ${\displaystyle n_{K}=n_{1}+2n_{2}}$.

Дедекиндова L-функција (такође позната као Дедекиндова зета-функција) у односу на ${\displaystyle K}$ је за ${\displaystyle \Re (s)>1}$ дефинисана са^[24]

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=L(K,s):=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

У суми, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ пролази кроз сва ненулта, цела идеала од ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})\in \mathbb {N} }$ означава апсолутну норму од ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. Коефицијенти Дирихлеовог реда

${\displaystyle \sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}}$

су дакле:

${\displaystyle \lambda (K,n)=\#\{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}\mid {\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})=n\}\in \mathbb {N} _{0}.}$

Они за свако ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ дају број целих идеала од ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ са апсолутном нормом ${\displaystyle n}$. Посебно, сви коефицијенти ${\displaystyle \lambda (K,n)}$ су реални, па је ${\displaystyle L(K,s)}$ самодуална. Овај Дирихлеов ред конвергира апсолутно за ${\displaystyle \Re (s)>1}$, као и одговарајући Ојлеров производ

${\displaystyle \prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

Притом се производ протеже преко свих ненултих простих идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ од ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. За ${\displaystyle \Re (s)>1}$ важи идентитет^[25]

${\displaystyle L(K,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {\lambda (K,n)}{n^{s}}}=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-{\mathcal {N}}({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

Степен Ојлеровог производа једнак је степену проширења поља ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$:

${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]=n_{K}.}$

Гама-фактор за ${\displaystyle L(K,s)}$ је:

${\displaystyle \gamma (K,s)=\pi ^{-{\frac {s\cdot n_{K}}{2}}}\,\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\,\Gamma \left({\frac {s+1}{2}}\right)^{n_{2}}.}$

Апсолутна вредност дискриминанте од ${\displaystyle K}$ је кондуктор од ${\displaystyle L(K,s)}$:

${\displaystyle q(K)=|d_{K}|.}$

Комплетна L-функција за ${\displaystyle K}$ је за ${\displaystyle \Re (s)>1}$ дата са

${\displaystyle \Lambda (K,s):=q(K)^{\frac {s}{2}}\,\gamma (K,s)\,L(K,s).}$

Она има аналитички наставак на целу комплексну раван са простим половима у ${\displaystyle s=0}$ и ${\displaystyle s=1}$. Дедекиндове L-функције увек имају коренски број 1, па је функционална једначина:

${\displaystyle \Lambda (K,s)=\Lambda (K,1-s).}$

Хекеове L-функције

Ерих Хеке (1887–1947)

Хекеове L-функције су заједничке генерализације Дирихлеових и Дедекиндових L-функција. Оне се односе на произвољна алгебарска поља бројева и зависе од одговарајућих карактера. Ерих Хеке је дефинисао ове L-функције помоћу такозваних Гресенкарактера (Größencharaktere). Модернији приступ користи иделске класне карактере.^[1]

Хекеове L-серије са Гресенкарактерима имају облик:^[26]

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{0\neq {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {\chi ({\mathfrak {a}})}{{\mathcal {N}}({\mathfrak {a}})^{s}}}.}$

Овде ${\displaystyle K}$ означава алгебарско поље бројева, а ${\displaystyle \chi }$ је Гресенкарактер, дефинисан на групи разломљених идеала ${\displaystyle J^{\mathfrak {m}}}$ који су узајамно прости са целим идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$.

Модернија теорија користи иделске класне карактере дефинисане на иделској класној групи ${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }/K^{\times }}$ поља ${\displaystyle K}$, где је ${\displaystyle \mathbb {A} ^{\times }}$ иделска група, а ${\displaystyle K^{\times }}$ група главних идела. Овај приступ омогућава дефинисање комплетне L-функције која има аналитички наставак и задовољава функционалну једначину.^[27]

Артинове L-функције

Главни чланак: Артинова L-функција

Емил Артин (1898–1962)

Док се претходни примери L-функција директно односе на поља бројева, Артинове L-функције су придружене репрезентацијама Галоаове групе једног Галоаовог проширења поља. Нека је ${\displaystyle E/K}$ Галоаово проширење поља бројева са Галоаовом групом ${\displaystyle G:=G(E/K)}$, и нека је ${\displaystyle \rho :G\longrightarrow GL(V)}$ репрезентација од ${\displaystyle G}$ на коначно-димензионалном комплексном векторском простору ${\displaystyle V}$.

Артинова L-серија за репрезентацију ${\displaystyle (\rho ,V)}$ дефинисана је као Ојлеров производ:^[28]

${\displaystyle L(\rho ,s):=\prod _{0\neq {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}\operatorname {det} (1-\phi _{\mathfrak {P}}q_{\mathfrak {p}}^{-s};V^{I_{\mathfrak {P}}})^{-1}.}$

Овде ${\displaystyle \phi _{\mathfrak {P}}}$ означава Фробенијусов аутоморфизам, а ${\displaystyle V^{I_{\mathfrak {P}}}}$ је подпростор од ${\displaystyle V}$ фиксиран групом инерције. Производ се протеже преко свих простих идеала од ${\displaystyle K}$. Ова серија апсолутно конвергира за ${\displaystyle \Re (s)>1}$.^{[тражи се извор]}

Артинове L-функције такође имају комплетну верзију ${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)}$ са гама-фактором, кондуктором и коренским бројем, и задовољавају функционалну једначину.^[29] Још увек недоказана Артинова претпоставка тврди да је свака Артинова L-функција (за нетривијалне иредуцибилне репрезентације) холоморфна на целој комплексној равни.^{[тражи се извор]}

Аутоморфне L-функције

Главни чланак: Аутоморфна L-функција

Аутоморфне L-функције настају из аутоморфних форми и аутоморфних репрезентација. Пример је L-функција повезана са модуларном формом. Ако је ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)e^{2\pi inz}}$ касп форма тежине ${\displaystyle k}$ за пуну модуларну групу, повезана L-функција је дата са:^[30]

${\displaystyle L(f,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}$

Ова серија конвергира за ${\displaystyle \Re (s)>{\frac {k+1}{2}}}$. Хеке је показао да ${\displaystyle L(f,s)}$ има аналитички наставак на целу комплексну раван и задовољава функционалну једначину која повезује ${\displaystyle L(f,s)}$ са ${\displaystyle L(f,k-s)}$.^{[тражи се извор]}

Ленглендсов програм предвиђа да свака Артинова L-функција одговара аутоморфној L-функцији, што би имплицирало Артинову претпоставку.

Претпостављене особине

Очекује се да L-функције имају следећа својства:

1. **Положај нула и полова:** Информације о вредностима функције.
2. **Функционална једначина:** Симетрија у односу на вертикалну праву ${\displaystyle \Re (s)={\text{const}}}$.
3. **Специјалне вредности:** Интересантне вредности у целобројним тачкама, често повезане са алгебарским инваријантама.

Велика Риманова хипотеза тврди да све нетривијалне нуле било које L-функције леже на "критичној правој" ${\displaystyle \Re (s)=1/2}$. Статистичка својства расподеле нула су такође од великог интереса због њихове везе са теоријом случајних матрица и квантним хаосом.

Атле Селберг је 1989. године формулисао Селбергову класу, аксиоматски приступ који обухвата очекивана својства L-функција.

Види још

• L-функција елиптичке криве
• Ленглендсов програм
• Претпоставка Бирча и Свинертон-Дајера

Литература

• Tom M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer. ISBN 0-387-90163-9.
• Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney, Andrea Weirathmueller (2008). The Riemann Hypothesis. New York: Springer. ISBN 978-0-387-72125-5.CS1 одржавање: Вишеструка имена: списак аутора (веза)
• Daniel Bump et al.: An Introduction to the Langlands Program. Уредници: Joseph Bernstein, Stephen Gelbart. Birkhäuser, Boston 2004, ISBN 3-7643-3211-5.
• Henryk Iwaniec, Emmanuel Kowalski (2004). Analytic Number Theory. Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3633-1.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• Cristian Popescu, Karl Rubin, Alice Silverberg (уредници): Arithmetic of L-functions (= IAS/Park City Mathematics Series. Band 18). 1. Auflage. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA 2011, ISBN 978-0-8218-5320-7.

Спољашње везе

• The L-functions and modular forms database - LMFDB Обимна база L-функција и других објеката из теорије бројева.

Напомене

1. Рамануџанова претпоставка се односи на коефицијенте ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)}$ Дирихлеовог реда. Она тврди: за произвољно ${\displaystyle \textstyle \epsilon >0}$, ${\displaystyle \textstyle \lambda (f,n)=O(n^{\epsilon })}$. Притом, имплицитна константа у Ландауовом симболу ${\displaystyle \textstyle O}$ може зависити од ${\displaystyle \textstyle \epsilon }$.