Гама-функција

У математици, гама функција (означена са Γ, велико слово грчког слова гама) је најчешће проширење функције факторијела на комплексне бројеве. Извео ју је Данијел Бернули, гама функција ${\displaystyle \Gamma (z)}$ дефинисана је за све комплексне бројеве ${\displaystyle z}$ осим ненегативних целих бројева, а ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ за сваки позитиван цео број ${\displaystyle n}$. Гама функција се може дефинисати помоћу конвергентног неправог интеграла за комплексне бројеве са позитивним реалним делом:

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\text{ d}}t,\ \qquad \Re (z)>0\,.}$$Затим је гама функција дефинисана у комплексној равни као аналитичко настављање ове интегралне функције: то је мероморфна функција која је хоморфна свуда осим у нули и негативним целим бројевима, где има просте полове.

Гама функција нема нуле, па је реципрочна гама функција 1/Γ(z) цела функција. Заправо, гама функција одговара Мелиновој трансформацији негативне експоненцијалне функције:

$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

Постоје друга проширења функције факторијела, али је гама функција најпопуларнија и најупечатљивија. Појављује се као фактор у различитим функцијама расподеле вероватноће и другим формулама у областима вероватноће, статистике, аналитичке теорије бројева и комбинаторике.

Мотивација

${\displaystyle \Gamma (x+1)}$ интерполира функцију факторијела на нецеле вредности.

Гама функција се може посматрати као решење интерполационог проблема проналажења глатке криве ${\displaystyle y=f(x)}$ која повезује тачке низа факторијела: ${\displaystyle (x,y)=(n,n!)}$ за све позитивне целе вредности ${\displaystyle n}$. Једноставна формула за факторијел, x! = 1 × 2 × ⋯ × x важи само када је x позитиван цео број, и ниједна елементарна функција нема ово својство, али је добро решење гама функција ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x+1)}$.

Гама функција није само глатка већ и аналитичка (осим у ненегативним целим бројевима), и може се дефинисати на више експлицитних начина. Међутим, није једина аналитичка функција која проширује факторијел, јер се може додати било која аналитичка функција која је нула на позитивним целими бројевима, као што је ${\displaystyle k\sin(m\pi x)}$ за цео број ${\displaystyle m}$. Таква функција је позната као псеудогама функција, а најпознатија је Хадамардова функција.^[1]

Гама функција, Γ(z) плава, приказана заједно са Γ(z) + sin(πz) зелена. Обратите пажњу на пресек на позитивним целим бројевима. Обе су валидна проширења факторијела на мероморфну функцију у комплексној равни.

Рестриктивнији услов је функционална једначина која интерполира померити факторијел ${\displaystyle f(n)=(n{-}1)!}$ :^[2][3] $${\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\text{ за све }}x>0,\qquad f(1)=1.}$$

Али ово још увек не даје јединствено решење, јер дозвољава множење са било којом периодичном функцијом ${\displaystyle g(x)}$ са ${\displaystyle g(x)=g(x+1)}$ и ${\displaystyle g(0)=1}$, као што је ${\displaystyle g(x)=e^{k\sin(m\pi x)}}$.

Један начин да се реши двосмисленост је Бор-Молирупова теорема, која показује да је ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x)}$ јединствена интерполирајућа функција за факторијел, дефинисана преко позитивних реалних бројева, која је логаритамски конвексна,^[4] што значи да је ${\displaystyle y=\log f(x)}$ конвексна.^[5]

Дефиниција

Главна дефиниција

Запис ${\displaystyle \Gamma (z)}$ потиче од Лежандра. Ако је реални део комплексног броја z строго позитиван (${\displaystyle \Re (z)>0}$), тада интеграл $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$ апсолутно конвергира, и познат је као Ојлеров интеграл друге врсте. (Ојлеров интеграл прве врсте је бета функција.) Користећи интеграцију по деловима, видимо да:

Апсолутна вредност (вертикална) и аргумент (боја) гама функције у комплексној равни

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=\lim _{t\to \infty }\left(-t^{z}e^{-t}\right)-\left(-0^{z}e^{-0}\right)+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$

Препознајући да ${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$ ка ${\displaystyle t\to \infty }$, $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

Тада ${\displaystyle \Gamma (1)}$ може да се израчуна као: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\\&=1.\end{aligned}}}$$

Тако можемо показати да ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ за сваки позитиван цео број n помоћу индукције. Конкретно, основни случај је ${\displaystyle \Gamma (1)=1=0!}$, а индукциони корак је ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)!=n!}$.

Идентитет ${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ се може користити (или, дајући исти резултат, аналитичко настављање се може користити) да се јединствено прошири интегрална формулација за ${\displaystyle \Gamma (z)}$ на мероморфну функцију дефинисану за све комплексне бројеве z, осим целих бројева мањих или једнаких нули. Управо ова проширена верзија је она на коју се обично односи гама функција.

Алтернативне дефиниције

Постоји много еквивалентних дефиниција.

Ојлерова дефиниција као бесконачни производ

За фиксирани цео број ${\displaystyle m}$, како цео број ${\displaystyle n}$ расте, имамо да^[6] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$$

Ако ${\displaystyle m}$ није цео број онда је ова једначина бесмислена пошто, у овом одељку, факторијел нецелог броја није још дефинисан. Међутим, претпоставимо да ова једначина наставља да важи када се ${\displaystyle m}$ замени произвољним комплексним бројем ${\displaystyle z}$, да би се дефинисала Гама функција за нецеле бројеве:

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$$ Множећи обе стране са ${\displaystyle (z-1)!}$ даје $${\displaystyle {\begin{aligned}(z-1)!&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdot 2\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$$Овај бесконачни производ, који припада Ојлеру,^[7] конвергира за све комплексне бројеве ${\displaystyle z}$ осим ненегативних целих бројева, који не успевају због дељења са нулом. Заправо, горе наведена претпоставка производи јединствену дефиницију ${\displaystyle \Gamma (z)}$ као ${\displaystyle (z-1)!}$.

Интуитивно, ова формула показује да је ${\displaystyle \Gamma (z)}$ приближно резултат израчунавања ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ за неки велики цео број ${\displaystyle n}$, множења са ${\displaystyle (n+1)^{z}}$ да би се приближила ${\displaystyle \Gamma (n+z+1)}$, и затим коришћења везе ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ уназад ${\displaystyle n+1}$ пута да би се добила апроксимација за ${\displaystyle \Gamma (z)}$; и даље, да та апроксимација постаје тачна када ${\displaystyle n}$ расте до бесконачности.

Бесконачни производ за реципрочну вредност $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)/{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}\right]}$$ је цела функција, која конвергира за сваки комплексан број z.

Вајерштрасова дефиниција

Дефиниција за гама функцију коју је дао Вајерштрас је такође важећа за све комплексне бројеве ${\displaystyle z}$ осим ненегативних целих бројева: $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$$ где је ${\displaystyle \gamma \approx 0,577216}$ Ојлер-Маскерониева константа. Ово је Хадамардов производ од ${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ у преписаној форми.

Доказ еквивалентности три дефиниције

Еквивалентност интегралне дефиниције и Вајерштрасове дефиниције Из интегралне дефиниције, релације ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ и Хадамардове теореме о факторизацији, $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{c_{1}z+c_{2}}\prod _{n=1}^{\infty }e^{-{\frac {z}{n}}}\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}$$ за неке константе ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ пошто је ${\displaystyle 1/\Gamma }$ цела функција реда ${\displaystyle 1}$. Пошто ${\displaystyle z\Gamma (z)\to 1}$ ка ${\displaystyle z\to 0}$, ${\displaystyle c_{2}=0}$ (или цео број умножен са ${\displaystyle 2\pi i}$) и пошто ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$, $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-c_{1}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)\\&=\exp \left(\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left(\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n}}\right)\right)\\&=\exp \left(\lim _{N\to \infty }\left(\log(N+1)-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$ где је ${\displaystyle c_{1}=\gamma +2\pi ik}$ за неки цео број ${\displaystyle k}$. Пошто ${\displaystyle \Gamma (z)\in \mathbb {R} }$ за ${\displaystyle z\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} _{0}^{-}}$, имамо ${\displaystyle k=0}$ и $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }e^{-{\frac {z}{n}}}\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}$$ Еквивалентност Вајерштрасове дефиниције и Ојлерове дефиниције $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\\&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }e^{z\left(\log(n+1)-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-\cdots -{\frac {1}{n}}\right)}{\frac {e^{z\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)}}{\left(1+z\right)\left(1+{\frac {z}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {z}{n}}\right)}}\\&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\left(1+z\right)\left(1+{\frac {z}{2}}\right)\cdots \left(1+{\frac {z}{n}}\right)}}e^{z\log \left(n+1\right)}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!(n+1)^{z}}{z(z+1)\cdots (z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{0}^{-}\end{aligned}}}$$

Својства

Општа својства

Поред основног својства о коме се расправљало изнад: $${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$$ друге важне функционалне једначине за гама функцију су Ојлерова рефлексиона формула $${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$ што имплицира $${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$ и Лежандрова формула дуплирања $${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

Извођење Ојлерове рефлексионе формуле

Доказ 1 Са Ојлеровим бесконачним производом $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1+1/n)^{z}}{1+z/n}}}$$ израчунајмо $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1-z)\Gamma (z)}}={\frac {1}{(-z)\Gamma (-z)\Gamma (z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-z/n)(1+z/n)}{(1+1/n)^{-z}(1+1/n)^{z}}}=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi z}{\pi }}\,,}$$ где је последња једнакост познат резултат. Сличан извод почиње са Вајерштрасовом дефиницијом. Доказ 2 Прво доказати да $${\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ax}}{1+e^{x}}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {v^{a-1}}{1+v}}\,dv={\frac {\pi }{\sin \pi a}},\quad a\in (0,1).}$$ Размотримо позитивно оријентисану правоугаону контуру ${\displaystyle C_{R}}$ са теменама на ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle -R}$, ${\displaystyle R+2\pi i}$ и ${\displaystyle -R+2\pi i}$ где ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{+}}$. Тада према теореми о остацима, $${\displaystyle \int _{C_{R}}{\frac {e^{az}}{1+e^{z}}}\,dz=-2\pi ie^{a\pi i}.}$$ Нека $${\displaystyle I_{R}=\int _{-R}^{R}{\frac {e^{ax}}{1+e^{x}}}\,dx}$$ и нека ${\displaystyle I_{R}'}$ буде аналогни интеграл преко горње стране правоугаоника. Тада ${\displaystyle I_{R}\to I}$ ка ${\displaystyle R\to \infty }$ и ${\displaystyle I_{R}'=-e^{2\pi ia}I_{R}}$. Ако ${\displaystyle A_{R}}$ означава десну вертикалну страну правоугаоника, онда $${\displaystyle \left|\int _{A_{R}}{\frac {e^{az}}{1+e^{z}}}\,dz\right|\leq \int _{0}^{2\pi }\left|{\frac {e^{a(R+it)}}{1+e^{R+it}}}\right|\,dt\leq Ce^{(a-1)R}}$$ за неку константу ${\displaystyle C}$ и пошто је ${\displaystyle a<1}$, интеграл тежи ка ${\displaystyle 0}$ ка ${\displaystyle R\to \infty }$. Аналогно, интеграл преко леве вертикалне стране правоугаоника тежи ка ${\displaystyle 0}$ ка ${\displaystyle R\to \infty }$. Према томе $${\displaystyle I-e^{2\pi ia}I=-2\pi ie^{a\pi i},}$$ одакле $${\displaystyle I={\frac {\pi }{\sin \pi a}},\quad a\in (0,1).}$$ Затим $${\displaystyle \Gamma (1-z)=\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{-z}\,du=t\int _{0}^{\infty }e^{-vt}(vt)^{-z}\,dv,\quad t>0}$$ и $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)\Gamma (1-z)&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-t(1+v)}v^{-z}\,dv\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {v^{-z}}{1+v}}\,dv\\&={\frac {\pi }{\sin \pi (1-z)}}\\&={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\quad z\in (0,1).\end{aligned}}}$$ Доказивање рефлексионе формуле за све ${\displaystyle z\in (0,1)}$ доказује је за све ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }$ помоћу аналитичког наставка.

Извођење Лежандрове формуле дуплирања

Бета функција се може представити као $${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt.}$$ Постављањем ${\displaystyle z_{1}=z_{2}=z}$ добијамо $${\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\,dt.}$$ После смене ${\displaystyle t={\frac {1+u}{2}}}$: $${\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{-1}^{1}\left(1-u^{2}\right)^{z-1}\,du.}$$ Функција ${\displaystyle (1-u^{2})^{z-1}}$ је парна, према томе $${\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma (2z)\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{z-1}\,du.}$$ Сада $${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=\int _{0}^{1}t^{{\frac {1}{2}}-1}(1-t)^{z-1}\,dt,\quad t=s^{2}.}$$ Затим $${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=2\int _{0}^{1}(1-s^{2})^{z-1}\,ds=2\int _{0}^{1}(1-u^{2})^{z-1}\,du.}$$ Ово имплицира $${\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma (2z)\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right).}$$ Пошто $${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma (z)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}},\quad \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ Лежандрова формула дуплирања следи: $${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

Формула дуплирања је специјални случај теореме о множењу (видети ^[8] Једн. 5.5.6): $${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

Једноставно али корисна особина, која се може видети из граничне дефиниције, је: $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

Посебно, са z = a + bi, овај производ је $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

Ако је реални део цео број или полуцео, ово може бити коначно изражено у затвореној форми: $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

Доказ апсолутних вредности формула за аргументе целобројних или полуцелобројних реалних делова

Прво, размотримо рефлексиону формулу примењену на ${\displaystyle z=bi}$. $${\displaystyle \Gamma (bi)\Gamma (1-bi)={\frac {\pi }{\sin \pi bi}}}$$ Примењујући рекурентну релацију на други члан: $${\displaystyle -bi\cdot \Gamma (bi)\Gamma (-bi)={\frac {\pi }{\sin \pi bi}}}$$ што са једноставним преуређивањем даје $${\displaystyle \Gamma (bi)\Gamma (-bi)={\frac {\pi }{-bi\sin \pi bi}}={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}}$$ Друго, размотримо рефлексиону формулу примену на ${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}+bi}$. $${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)\Gamma \left(1-({\tfrac {1}{2}}+bi)\right)=\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}-bi)={\frac {\pi }{\sin \pi ({\tfrac {1}{2}}+bi)}}={\frac {\pi }{\cos \pi bi}}={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}}$$ Формуле за друге вредности ${\displaystyle z}$ за које је реални део цео или полуцео брзо следе индукцијом користећи рекурентну релацију у позитивним и негативним смеровима.

Можда најпознатија вредност гама функције на нецелобројном аргументу је $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ коју се може наћи постављањем ${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$ у рефлексионој формули, коришћењем везе са бета функцијом датом испод са ${\displaystyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$, или једноставно заменом ${\displaystyle t=u^{2}}$ у интегралној дефиницији гама функције, што резултира Гаусовим интегралом. Генерално, за ненегативне целе вредности ${\displaystyle n}$ имамо: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}$$ где је дупли факторијел ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$. Види Посебне вредности гама функције за израчунате вредности.

Може бити примамљиво уопштити резултат да ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ тражећи формулу за друге појединачне вредности ${\displaystyle \Gamma (r)}$ где је ${\displaystyle r}$ рационалан, посебно зато што је према Гаусовој теореми дигама функције могуће то учинити за блиску везану дигама функцију на свакој рационалној вредности. Међутим, ови бројеви ${\displaystyle \Gamma (r)}$ нису познати да су изразиви сами по себи помоћу елементарних функција. Доказано је да је ${\displaystyle \Gamma (n+r)}$ трансцендентан број и алгебарски независан од ${\displaystyle \pi }$ за сваки цео број ${\displaystyle n}$ и сваки од разломака ${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$.^[9] Уопштено, када израчунавамо вредности гама функције, морамо се задовољити нумеричким апроксимацијама.

Изводи гама функције описани су помоћу полигама функције, ψ⁽⁰⁾(z): $${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$ За позитиван цео број m извод гама функције може се израчунати на следећи начин:

Боје показују аргумент гама функције у комплексној равни од −2 − 2i до 6 + 2i

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$ где H(m) је m-ти хармонијски број и γ је Ојлер–Маскерониева константа.

За ${\displaystyle \Re (z)>0}$ ${\displaystyle n}$-ти извод гама функције је: $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$ (Ово се може извести диференцирањем интегралне форме гама функције у односу на ${\displaystyle z}$, и коришћењем технике диференцирања под интегралним знаком.)

Користећи идентитет $${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\zeta (n))}$$ где ${\displaystyle \zeta (z)}$ је Риманова зета функција, и ${\displaystyle B_{n}}$ је ${\displaystyle n}$-ти Бел полином, имамо посебно Лоранов развој гама функције ^[10] $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

Неједнакости

Када је ограничена на позитивне реалне бројеве, гама функција је строго логаритамски конвексна функција. Ово својство може се изразити у било ком од следећа три еквивалентна начина:

• За било која два позитивна реална броја ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$, и за било који ${\displaystyle t\in [0,1]}$, $${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• За било која два позитивна реална броја ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$, и ${\displaystyle x_{2}}$ > ${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• За сваки позитиван реални број ${\displaystyle x}$, $${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

Последња од ових тврдњи је, у суштини по дефиницији, иста као и тврдња да ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$, где је ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ полигама функција реда 1. Да би се доказала логаритамска конвексност гама функције, довољно је посматрати да ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ има репрезентацију серија која се, за позитивне реалне x, састоји само од позитивних чланова.

Логаритамска конвексност и Јенсенова неједнакост заједно имплицирају, за било којих позитивних реалних бројева ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ и ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

Постоје такође границе за односе гама функција. Најпознатија је Гаучијева неједнакост, која каже да за било који позитиван реални број x и било који s ∈ (0, 1), $${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

Стирлингова формула

Главни чланак: Стирлингова апроксимација

Приказ гама функције у комплексној равни. Свака тачка ${\displaystyle z}$ је обојена према аргументу ${\displaystyle \Gamma (z)}$. Контурни приказ модула ${\displaystyle |\Gamma (z)|}$ је такође приказан.

Тродимензионални приказ апсолутне вредности комплексне гама функције

Понашање ${\displaystyle \Gamma (x)}$ за растућу позитивну реалну променљиву дато је Стирлинговом формулом $${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$ где симбол ${\displaystyle \sim }$ означава асимптотску конвергенцију: однос две стране конвергира ка 1 у граници ${\textstyle x\to +\infty }$. Овај раст је бржи од експоненцијалног, ${\displaystyle \exp(\beta x)}$, за било коју фиксну вредност ${\displaystyle \beta }$.

Још једна корисна граница за асимптотске апроксимације за ${\displaystyle x\to +\infty }$ је: $${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

Када се грешка напише као бесконачни производ, Стирлингова формула може да се користи да дефинише гама функцију: ^[11] $${\displaystyle \Gamma (x)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{e}}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{x+n+{\frac {1}{2}}}\right]}$$

Проширење на негативне, нецелобројне вредности

Иако главна дефиниција гама функције—Ојлеров интеграл друге врсте—важи (на реалној оси) само за позитивне аргументе, њен домен може се проширити аналитичким наставком^[12] на негативне аргументе пребацујући негативан аргумент на позитивне вредности користећи Ојлерову рефлексиону формулу, $${\displaystyle \Gamma (-x)={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}{\frac {\pi }{\sin {\big (}\pi (x+1){\big )}}},}$$ или основно својство, $${\displaystyle \Gamma (-x):={\frac {\,1}{-x}}\,\Gamma (-x+1),}$$ када ${\displaystyle x\not \in \mathbb {Z} }$. На пример, $${\displaystyle \Gamma \!\left(\!-{\frac {1}{2}}\right)=-2\,\Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\right).}$$

Резидуи

Понашање за не-позитивно ${\displaystyle z}$ је сложеније. Ојлеров интеграл не конвергира за ${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$, али функција коју дефинише у позитивној комплексној полуравни има јединствено аналитичко настављање на негативну полураван. Један начин да се нађе то аналитичко настављање је да се користи Ојлеров интеграл за позитивне аргументе и да се домен прошири на негативне бројеве поновним применом рекурентне формуле, $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$ бирајући ${\displaystyle n}$ тако да је ${\displaystyle z+n}$ позитиван. Производ у имениоцу је нула када је ${\displaystyle z}$ једнак било ком од бројева ${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$. Дакле, гама функција мора бити недефинисана у тим тачкама да би се избегло дељење нулом; то је мероморфна функција са простим половима у ненегативним целими бројевима.

За функцију ${\displaystyle f}$ комплексне променљиве ${\displaystyle z}$, у једноставном полу ${\displaystyle c}$, резидуум од ${\displaystyle f}$ је дат са: $${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

За једноставан пол ${\displaystyle z=-n}$, рекурентна формула се може преписати као: $${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$ Бројилац у ${\displaystyle z=-n}$, је $${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$ а именилац $${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$ Дакле, резидуи гама функције у тим тачкама су:^[13] $${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$Гама функција је различита од нуле свуда дуж реалне осе, иако се произвољно ближи нули како z → −∞. Заправо, не постоји комплексан број ${\displaystyle z}$ за који ${\displaystyle \Gamma (z)=0}$, и отуда реципрочна гама функција ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ је цела функција, са нулама у ${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$.

1. 1. 1. Минимуми и максимуми

На реалној оси, гама функција има локални минимум у z_min ≈ +1,46163214496836234126^[14] где достиже вредност Γ(z_min) ≈ +0,88560319441088870027.^[15] Гама функција расте са обе стране овог минимума. Решење за Γ(z − 0,5) = Γ(z + 0,5) је z = +1,5 и заједничка вредност је Γ(1) = Γ(2) = +1. Позитивно решење за Γ(z − 1) = Γ(z + 1) је z = φ ≈ +1,618, златни пресек, а заједничка вредност је Γ(φ − 1) = Γ(φ + 1) = φ! ≈ +1,44922960226989660037.^[16]

Гама функција мора да мења знак између својих полова у ненегативним целими бројевима јер производ у напредној рекурентној релацији садржи непаран број негативних фактора ако је број полови између ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle z+n}$ непаран, а паран број ако је број полови паран.^[13] Вредности у локалним екстремима гама функције дуж реалне осе између ненегативних целих бројева су:

Γ(−0,50408300826445540925...^[17]) = −3,54464361115500508912...,

Γ(−1,57349847316239045877...^[18]) = 2,30240725833968013582...,

Γ(−2,61072086844414465000...^[19]) = −0,88813635840124192009...,

Γ(−3,63529336643690109783...^[20]) = 0,24512753983436625043...,

Γ(−4,65323776174314244171...^[21]) = −0,05277963958731940076..., итд.

1. 1. 1. Интегрални представници

Постоје многе формуле, осим Ојлеровог интеграла друге врсте, које изражавају гама функцију као интеграл. На пример, када је реални део z позитиван,^[22] $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$ и^[23] $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=2c^{z}\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-ct^{2}}\,dt\,,\;c>0}$$ где три интеграла следе из замена ${\displaystyle t=e^{-x}}$, ${\displaystyle t=-\log x}$ ^[24] и ${\displaystyle t=cx^{2}}$^[25] у Ојлеровом интегралу друге врсте. Посебно, последњи интеграл јасно показује везу између гама функције на полуцелим аргументима и Гаусовог интеграла: ако ${\displaystyle z=1/2,\;c=1}$ добијамо $${\displaystyle \Gamma (1/2)=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\sqrt {\pi }}\;.}$$

Бинеова прва интегрална формула за гама функцију каже да, када је реални део z позитиван, онда:^[26] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$ Интеграл на десној страни може се тумачити као Лапласова трансформација. То јест, $${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

Бинеова друга интегрална формула каже да, опет када је реални део z позитиван, онда:^[27] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

Нека C буде Ханкелова контура, што значи пут који почиње и завршава се у тачки ∞ на Римановој сфери, чији јединични тангентни вектор конвергира ка −1 на почетку пута и ка 1 на крају, који има индекс 1 око 0, и који не прелази [0, ∞). Фиксирајте грану ${\displaystyle \log(-t)}$ тако што ћеш узети гранични пресек дуж [0, ∞) и узети ${\displaystyle \log(-t)}$ реалним када је t на негативној реалној оси. Претпоставимо да z није цео број. Тада Ханкелова формула за гама функцију је:^[28] $${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$ где ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ се интерпретира као ${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$. Рефлексиона формула води до блиско повезаног израза $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$ опет важећи кад год z није цео број.

1. 1. 1. Представљање у облику континуираних разломака

Гама функција се такође може представити као збир два континуирана разломка:^[29][30] $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&+\ {\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$ где ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$.

1. 1. 1. Фуријеров развој

Логаритам гама функције има следећи Фуријеров развој за ${\displaystyle 0<z<1:}$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\log 2)+(1-z)\log \pi -{\frac {1}{2}}\log \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$ који је дуго приписиван Ернсту Кумеру, који га је извео 1847.^[31][32] Међутим, Јарослав Благушин је открио да га је први извео Карл Јохан Малмстен 1842.^[33][34]

Рабеова формула

1840. године Јозеф Лудвиг Рабе је доказао да $${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log(2\pi )+a\log a-a,\quad a>0.}$$ Посебно, ако ${\displaystyle a=0}$ онда $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log(2\pi ).}$$

Ово последње се може извести узимајући логаритам у горњој формули множења, која даје израз за Риманову суму интегранда. Узимајући границу за ${\displaystyle a\to \infty }$ даје формулу.

1. 1. 1. Пи функција

Алтернативна нотација коју је увео Гаус је ${\displaystyle \Pi }$-функција, померана верзија гама функције: $${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$ тако да ${\displaystyle \Pi (n)=n!}$ за сваки ненегативан цео број ${\displaystyle n}$.

Користећи пи функцију, рефлексиона формула је: $${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$ користећи нормализовану sinc функцију; док формула множења постаје: $${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

Померана реципрочна гама функција се понекад означава са ${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}}$, што је цела функција.

Запремина n-елпсоида са полупречницима r₁, ..., r_n може се изразити као $${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

1. 1. 1. Веза са другим функцијама

• У првој интегралној дефиницији гама функције, границе интеграције су фиксне. Горња непотпуна гама функција је добијена дозвољавању варијабилности доње границе интеграције:$${\displaystyle \Gamma (z,x)=\int _{x}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.}$$Постоји слична доња непотпуна гама функција.
• Гама функција је везана са Ојлеровом бета функцијом формулом $${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• Логаритамски извод гама функције назива се дигама функција; виши изводи су полигама функција.
• Аналог гама функције преко коначног поља или коначног прстена су Гаусове суме, тип експоненцијалне суме.
• Реципрочна гама функција је цела функција и проучавана је као посебна тема.
• Гама функција се такође појављује у важној вези са Римановом зета функцијом, ${\displaystyle \zeta (z)}$. $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$ Такође се појављује у следећој формули: $${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$ која важи само за ${\displaystyle \Re (z)>1}$.
  Логаритам гама функције задовољава следећу формулу због Лерча: $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$ где је ${\displaystyle \zeta _{H}}$ Хурвицова зета функција, а ${\displaystyle \zeta }$ Риманова зета функција и прим (′) означава диференцијацију у првој варијабли.
• Гама функција је везана за испружена експоненцијална функција. На пример, моменти те функције су $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

1. 1. 1. Посебне вредности

Главни чланак: Посебне вредности гама функције

Укључујући до првих 20 децимала, неке посебне вредности гама функције су: $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3,54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1,77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0,88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3,32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$ (Ови бројеви могу се наћи у OEIS-у.^{[35][36][37][38][39][40]} Овде приказане вредности су скраћене, а не заокружене.) Комплексно вреднована гама функција је недефинисана за ненегативне целе бројеве, али у овим случајевима вредност може се дефинисати у Римановој сфери као ∞. Реципрочна гама функција је добро дефинисана и аналитичка у овим вредностима (и у целој комплексној равни): $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$

Логаритам гама функције

Аналитичка функција logΓ(z)

Због тога што гама функција и функција факторијела брзо расту за умерено велике аргументе, многе рачунарске средине укључују функцију која враћа природни логаритам гама функције, често именовану lgamma или lngamma у програмским срединама или gammaln у табелама. Ова функција расте много спорије, и за комбинаторна израчунавања дозвољава сабирање и одузимање логаритамских вредности уместо множења и дељења веома великих вредности. Дефинише се као^[41] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=-\gamma z-\log z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}$$

Логаритамска гама функција у комплексној равни
од −2 − 2i до 2 + 2i са бојама

Функционална једначина $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\operatorname {log\Gamma } (z+1)-\log z}$$ Телекомуникација се често користи у техничким и физичким апликацијама, нпр. код таласног ширења. Према наговештају Гауса, Роктешел (1922) је предложио за logΓ(z) апроксимацију за велике Re(z): $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log(2\pi ).}$$

Ова апроксимација може да се користи да се прецизно апроксимира logΓ(z) за z са мањим Re(z) преко (П.Е.Бемер, 1939) $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z-m)=\operatorname {log\Gamma } (z)-\sum _{k=1}^{m}\log(z-k).}$$

Тачнија апроксимација може се добити коришћењем више чланова из асимптотских развоја logΓ(z) и Γ(z), који су засновани на Стирлинговој апроксимацији. $${\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)}$$

како |z| → ∞ са константном |arg(z)| < π. (Види секвенце A001163 и A001164 у OEIS-у.)

У „природнијем“ представљању: $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=z\log z-z-{\tfrac {1}{2}}\log z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+o\left({\frac {1}{z^{5}}}\right)}$$

како |z| → ∞ са константном |arg(z)| < π. (Види секвенце A046968 и A046969 у OEIS-у.)

Коефицијенти чланова са k > 1 од z^1−k у последњем развоју су једноставно $${\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}}}$$ где су B_k Бернулијеви бројеви.

Стирлингова серија, изведена од Шарла Ермита 1900, дата је^[42] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (1+x)={\frac {x(x-1)}{2!}}\log(2)+{\frac {x(x-1)(x-2)}{3!}}(\log(3)-2\log(2))+\cdots ,\quad \Re (x)>0.}$$

Својства

Бор—Молерупова теорема наводи да је међу свим функцијама које проширују факторијелске функције на позитивне реалне бројеве, само гама-функција лог-конвексна, то јест, њен природни логаритам је конвексан на позитивној реалној оси. Друга карактеризација је дата Вилантовом теоремом.

Гама-функција је јединствена функција која истовремено задовољава следеће услове:

1. ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$,
2. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$ за све комплексне бројеве ${\displaystyle z}$ осим за непозитивне целе бројеве, и
3. за цео број n, ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$ за све комплексне бројеве ${\displaystyle z}$.^[43]

У извесном смислу, логаритамска гама-функција је природнији облик; она чини неке суштинске атрибуте функције јаснијим. Упечатљив пример је Тејлоров ред функције logΓ око 1: $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$$ где ζ(k) означава Риманову зета-функцију у тачки k.

Дакле, користећи следеће својство: $${\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}}$$ интегрална репрезентација логаритамске гама-функције је: $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt}$$ или, ако поставимо z = 1 да бисмо добили интеграл за γ, можемо заменити члан γ његовим интегралом и уградити га у горњу формулу, да бисмо добили: $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}$$

Такође постоје и посебне формуле за логаритам гама-функције за рационално z. На пример, ако су ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle n}$ цели бројеви са ${\displaystyle k<n}$ и ${\displaystyle k\neq n/2}$, онда^[44] $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {log\Gamma } \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\log 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\log \pi -\log \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\log r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \log x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x.\end{aligned}}}$$Ова формула се понекад користи за нумеричко израчунавање, пошто се интегранд веома брзо смањује.

Интеграција преко логаритамске гама-функције

Интеграл $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx}$$ може се изразити у терминима Барнсове G-функције^[45][46] (погледати Барнсова G-функција за доказ): $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\operatorname {log\Gamma } (z)-\log G(z+1)}$$ где је Re(z) > −1.

Такође се може записати у терминима Хурвицове зета-функције:^[47][48] $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z).}$$

Када је ${\displaystyle z=1}$, следи да је $${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {1}{2}}\log(2\pi ),}$$ a ово је такође последица Рабеове формуле. О. Еспиноса и В. Мол извели су сличну формулу за интеграл квадрата ${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } }$:^[49] $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log ^{2}\Gamma (x)dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}\gamma L_{1}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta ^{\prime \prime }(2)}{2\pi ^{2}}},}$$ где је ${\displaystyle L_{1}}$ једнако ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi )}$.

Д. Х. Бејли и његови коаутори^[50] дали су процену за $${\displaystyle L_{n}:=\int _{0}^{1}\log ^{n}\Gamma (x)\,dx}$$ када је ${\displaystyle n=1,2}$ у терминима Торнхајм—Витенове зета-функције и њених извода.

Поред тога, познато је и да^[51] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{n!}}=1.}$$

Апроксимације

Поређење гама-функције (плава линија) са факторијелом (плаве тачке) и Стерлинговом апроксимацијом (црвена линија)

Комплексне вредности гама-функције могу се апроксимирати помоћу Стерлингове апроксимације или Ланцошеве апроксимације, $${\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{када }}z\to \infty {\hbox{ у }}\left|\arg(z)\right|<\pi .}$$ Ово је прецизно у смислу да се однос апроксимације и стварне вредности приближава 1 у лимесу када |z| тежи бесконачности.

Гама-функција се може израчунати до фиксне прецизности за ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\in [1,2]}$ применом парцијалне интеграције на Ојлеров интеграл. За било који позитиван број x, гама-функција се може написати као $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$$

Када је Re(z) ∈ [1,2] и ${\displaystyle x\geq 1}$, апсолутна вредност последњег интеграла је мања од ${\displaystyle (x+1)e^{-x}}$. Избором довољно великог ${\displaystyle x}$, овај последњи израз може се учинити мањим од ${\displaystyle 2^{-N}}$ за било коју жељену вредност ${\displaystyle N}$. Дакле, гама-функција се може проценити на ${\displaystyle N}$ битова прецизности помоћу горњег реда.

Брзи алгоритам за израчунавање Ојлерове гама-функције за било који алгебарски аргумент (укључујући и рационалне) конструисао је Е. А. Карацуба.^[52][53][54]

За аргументе који су цели бројеви помножени са 1/24, гама-функција се такође може брзо проценити коришћењем итерација аритметичко-геометријске средине (погледајте посебне вредности гама-функције).^[55]

Практичне имплементације

За разлику од многих других функција, као што је нормална расподела, није лако пронаћи очигледно брзу и тачну имплементацију која је једноставна за имплементацију за гама-функцију ${\displaystyle \Gamma (z)}$. Стога је вредно истражити потенцијална решења. У случају да је брзина важнија од тачности, објављене табеле за ${\displaystyle \Gamma (z)}$ лако се могу наћи претрагом на интернету, као што је „Online Wiley Library”. Такве табеле се могу користити са линеарном интерполацијом. Већа тачност се може постићи употребом кубне интерполације по цену већих рачунарских захтева. Пошто се табеле за ${\displaystyle \Gamma (z)}$ обично објављују за вредности аргумената између 1 и 2, својство ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$ може се користити за брзо и лако превођење свих реалних вредности ${\displaystyle z<1}$ и ${\displaystyle z>2}$ у опсег ${\displaystyle 1\leq z\leq 2}$, тако да је потребно користити само табеларне вредности за ${\displaystyle z}$ између 1 и 2.^[56]

Ако табеле за интерполацију нису пожељне, онда Ланцошева апроксимација поменута горе добро функционише за тачност од 1 до 2 цифре за мале, често коришћене вредности z. Ако Ланцошева апроксимација није довољно тачна, може се користити Стерлингова формула за гама-функцију.

Примене

Један аутор описује гама-функцију као „вероватно најчешћу специјалну функцију, или најмање 'специјалну' од свих. Друге трансценденталне функције [...] називају се 'специјалним' јер бисте их могли избећи држећи се подаље од многих специјализованих математичких тема. С друге стране, гама-функцију Γ(z) је најтеже избећи.”^[57]

Проблеми интеграције

Гама-функција налази примену у различитим областима као што су квантна физика, астрофизика и механика флуида.^[58] Гама-расподела, која је формулисана у терминима гама-функције, користи се у статистици за моделирање широког спектра процеса; на пример, времена између појава земљотреса.^[59]

Примарни разлог корисности гама-функције у таквим контекстима је преваленција израза типа ${\displaystyle f(t)e^{-g(t)}}$ који описују процесе који експоненцијално опадају у времену или простору. Интеграли таквих израза се понекад могу решити у терминима гама-функције када не постоји елементарно решење. На пример, ако је f степена функција, а g линеарна функција, једноставна смена променљивих ${\displaystyle u:=a\cdot t}$ даје процену

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {1}{a^{b}}}\int _{0}^{\infty }u^{b}e^{-u}d\left({\frac {u}{a}}\right)={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.}$$

Чињеница да се интеграција врши дуж целе позитивне реалне осе може значити да гама-функција описује акумулацију временски зависног процеса који се наставља неодређено, или вредност може бити укупна вредност расподеле у бесконачном простору.

Наравно, често је корисно узети границе интеграције различите од 0 и ∞ да би се описала акумулација коначног процеса, у ком случају обична гама-функција више није решење; решење се тада назива непотпуна гама-функција. (Обична гама-функција, добијена интеграцијом преко целе позитивне реалне осе, понекад се назива потпуна гама-функција ради контраста.)

Важна категорија експоненцијално опадајућих функција су Гаусове функције $${\displaystyle ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}}}$$ и њихови интеграли, као што је функција грешке. Постоји много међусобних веза између ових функција и гама-функције; посебно, фактор ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ добијен проценом ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$ је „исти” као онај који се налази у фактору нормализације функције грешке и нормалне расподеле.

Досадашњи интеграли укључују трансценденталне функције, али гама-функција такође произилази из интеграла чисто алгебарских функција. Конкретно, дужине лука елипсе и лемнискате, које су криве дефинисане алгебарским једначинама, дате су елиптичким интегралима који се у посебним случајевима могу проценити у терминима гама-функције. Гама-функција се такође може користити за израчунавање „запремине” и „површине” n-димензионалних хиперсфера.

Израчунавање производа

Способност гама-функције да генерализује факторијалне производе одмах доводи до примена у многим областима математике; у комбинаторици, и самим тим у областима као што су теорија вероватноће и израчунавање степених редова. Многи изрази који укључују производе узастопних целих бројева могу се написати као комбинација факторијала, а најважнији пример је вероватно биномни коефицијент. На пример, за било које комплексне бројеве z и n, са |z| < 1, можемо написати $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+1)}{k!\Gamma (n-k+1)}}z^{k},}$$ што веома подсећа на биномни коефицијент када је n ненегативан цео број, $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}z^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{k}.}$$

Пример биномних коефицијената мотивише зашто су својства гама-функције када се прошире на негативне бројеве природна. Биномни коефицијент даје број начина да се изабере k елемената из скупа од n елемената; ако је k > n, наравно, нема начина. Ако је k > n, (n − k)! је факторијал негативног целог броја и стога је бесконачан ако користимо дефиницију факторијала преко гама-функције — дељење са бесконачношћу даје очекивану вредност 0.

Можемо заменити факторијал гама-функцијом да бисмо проширили било коју такву формулу на комплексне бројеве. Генерално, ово функционише за било који производ у којем је сваки фактор рационална функција променљиве индекса, факторизацијом рационалне функције у линеарне изразе. Ако су P и Q монични полиноми степена m и n са коренима p₁, ..., p_m и q₁, ..., q_n, имамо $${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod _{j=1}^{m}{\frac {\Gamma (b-p_{j}+1)}{\Gamma (a-p_{j})}}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {\Gamma (a-q_{k})}{\Gamma (b-q_{k}+1)}}\right).}$$

Ако имамо начин да нумерички израчунамо гама-функцију, врло је једноставно израчунати нумеричке вредности таквих производа. Број гама-функција на десној страни зависи само од степена полинома, тако да није битно да ли је b − a једнако 5 или 10⁵. Узимањем одговарајућих лимеса, једначина се може учинити важећом чак и када леви производ садржи нуле или полове.

Узимањем лимеса, одређени рационални производи са бесконачно много фактора такође се могу проценити у терминима гама-функције. Захваљујући Вајерштрасовој теореми о факторизацији, аналитичке функције се могу написати као бесконачни производи, а ови се понекад могу представити као коначни производи или количници гама-функције. Већ смо видели један упечатљив пример: формула рефлексије у суштини представља синусну функцију као производ две гама-функције. Полазећи од ове формуле, експоненцијална функција као и све тригонометријске и хиперболичке функције могу се изразити у терминима гама-функције.

Још више функција, укључујући хипергеометријску функцију и њене посебне случајеве, могу се представити помоћу комплексних контурних интеграла производа и количника гама-функције, названих Мелин—Барнсови интеграли.

Аналитичка теорија бројева

Примена гама-функције је проучавање Риманове зета-функције. Основно својство Риманове зета-функције је њена функционална једначина: $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.}$$

Између осталог, ово пружа експлицитан облик за аналитички наставак зета-функције на мероморфну функцију у комплексној равни и води до непосредног доказа да зета-функција има бесконачно много такозваних „тривијалних” нула на реалној оси. Борвајн et al. ову формулу називају „једним од најлепших открића у математици”.^[60] Други кандидат за ту титулу би могао бити $${\displaystyle \zeta (s)\;\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}.}$$

Обе формуле је извео Бернхард Риман у свом семиналном раду из 1859. године „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe” („О броју простих бројева мањих од дате величине”), што је један од камена темељаца у развоју аналитичке теорије бројева — гране математике која проучава просте бројеве користећи алате математичке анализе.

Историја

Гама-функција је привукла пажњу неких од најистакнутијих математичара свих времена. Њена историја, коју је посебно документовао Филип Џ. Дејвис у чланку који му је донео Шовенеову награду 1963. године, одражава многе од главних развоја у математици од 18. века. По Дејвисовим речима, „свака генерација је пронашла нешто занимљиво да каже о гама-функцији. Можда ће и следећа генерација то учинити.”^[43]

18. век: Ојлер и Стерлинг

Писмо Данијела Бернулија Кристијану Голдбаху (6. октобар 1729)

Проблем проширења факторијела на не-целобројне аргументе очигледно су први разматрали Данијел Бернули и Кристијан Голдбах 1720-их. Конкретно, у писму Бернулија Голдбаху од 6. октобра 1729. године, Бернули је увео производну репрезентацију^[61] $${\displaystyle x!=\lim _{n\to \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}}$$ која је добро дефинисана за реалне вредности x осим за негативне целе бројеве.

Леонард Ојлер је касније дао две различите дефиниције: прва није била његов интеграл већ бесконачни производ који је добро дефинисан за све комплексне бројеве n осим за негативне целе бројеве, $${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,}$$ о чему је обавестио Голдбаха у писму од 13. октобра 1729. године. Поново је писао Голдбаху 8. јануара 1730. године, да би објавио своје откриће интегралне репрезентације $${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}(-\log s)^{n}\,ds\,,}$$ која важи када је реални део комплексног броја n стриктно већи од −1 (тј. ${\displaystyle \Re (n)>-1}$). Сменом променљивих t = −ln s, ово постаје познати Ојлеров интеграл. Ојлер је објавио своје резултате у раду „De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt” („О трансценденталним прогресијама, то јест, онима чији се општи чланови не могу дати алгебарски”), поднетом Академији у Санкт Петербургу 28. новембра 1729. године.^[62] Ојлер је даље открио нека од важних функционалних својстава гама-функције, укључујући формулу рефлексије.

Џејмс Стерлинг, Ојлеров савременик, такође је покушао да пронађе континуирани израз за факторијел и дошао до онога што је данас познато као Стерлингова формула. Иако Стерлингова формула даје добру процену n!, такође и за не-целе бројеве, она не даје тачну вредност. Проширења његове формуле која исправљају грешку дали су сам Стерлинг и Жак Филип Мари Бине.

19. век: Гаус, Вајерштрас и Лежандр

Прва страница Ојлеровог рада

Карл Фридрих Гаус је преписао Ојлеров производ као $${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}}$$ и користио ову формулу да открије нова својства гама-функције. Иако је Ојлер био пионир у теорији комплексних променљивих, чини се да није разматрао факторијел комплексног броја, што је први урадио Гаус.^[63] Гаус је такође доказао теорему о множењу гама-функције и истраживао везу између гама-функције и елиптичких интеграла.

Карл Вајерштрас је даље учврстио улогу гама-функције у комплексној анализи, полазећи од још једне производне репрезентације, $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},}$$ где је γ Ојлер—Маскеронијева константа. Вајерштрас је првобитно написао свој производ као производ за 1/Γ, у ком случају се узима преко нула функције, а не њених полова. Инспирисан овим резултатом, доказао је оно што је познато као Вајерштрасова теорема о факторизацији — да се свака цела функција може написати као производ преко својих нула у комплексној равни; генерализација основне теореме алгебре.

Назив гама-функција и симбол Γ увео је Адријен-Мари Лежандр око 1811. године; Лежандр је такође преписао Ојлерову интегралну дефиницију у њен модеран облик. Иако је симбол велико грчко слово гама, не постоји прихваћен стандард да ли назив функције треба писати „гама-функција” или „Гама-функција” (неки аутори једноставно пишу „Γ-функција”). Алтернативна нотација „пи-функција” Π(z) = z! коју је увео Гаус понекад се среће у старијој литератури, али Лежандрова нотација је доминантна у модерним радовима.

Оправдано је питати се зашто разликујемо „обичан факторијел” и гама-функцију коришћењем различитих симбола, и посебно зашто би гама-функција требало да буде нормализована на Γ(n + 1) = n! уместо једноставног коришћења „Γ(n) = n!”. Узмимо у обзир да је нотација за експоненте, xⁿ, генерализована од целих бројева до комплексних бројева x^z без икакве промене. Лежандрова мотивација за нормализацију није позната, и неки су је критиковали као гломазну (математичар 20. века Корнелијус Ланцош, на пример, назвао ју је „лишеном сваке рационалности” и радије би користио z!).^[64] Лежандрова нормализација поједностављује неке формуле, али компликује друге. Са модерне тачке гледишта, Лежандрова нормализација гама-функције је интеграл адитивног карактера e^−x у односу на мултипликативни карактер x^z у односу на Харову меру ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$ на Лијевој групи R⁺. Тако ова нормализација јасније показује да је гама-функција континуирани аналог Гаусовог збира.^[65]

19—20. век: карактеризација гама-функције

Помало је проблематично што је дат велики број дефиниција за гама-функцију. Иако описују исту функцију, није потпуно једноставно доказати њихову еквивалентност. Стерлинг никада није доказао да његова проширена формула тачно одговара Ојлеровој гама-функцији; доказ је први дао Шарл Ермит 1900. године.^[66] Уместо проналажења специјализованог доказа за сваку формулу, било би пожељно имати општи метод за идентификацију гама-функције.

Један начин да се докаже еквивалентност био би проналажење диференцијалне једначине која карактерише гама-функцију. Већина специјалних функција у примењеној математици настаје као решења диференцијалних једначина, чија су решења јединствена. Међутим, чини се да гама-функција не задовољава ниједну једноставну диференцијалну једначину. Ото Хелдер је 1887. године доказао да гама-функција барем не задовољава ниједну алгебарску диференцијалну једначину показујући да решење такве једначине не може задовољити рекурентну формулу гама-функције, чиме је она трансцендентално трансцендентална функција. Овај резултат је познат као Хелдерова теорема.

Коначна и опште применљива карактеризација гама-функције није дата све до 1922. године. Харалд Бор и Јоханес Молеруп су тада доказали оно што је познато као Бор—Молерупова теорема: да је гама-функција јединствено решење факторијалне рекурентне релације које је позитивно и логаритамски конвексно за позитивно z и чија је вредност у тачки 1 једнака 1 (функција је логаритамски конвексна ако је њен логаритам конвексан). Друга карактеризација је дата Вилантовом теоремом.

Бор—Молерупова теорема је корисна јер је релативно лако доказати логаритамску конвексност за било коју од различитих формула које се користе за дефинисање гама-функције. Идући даље, уместо дефинисања гама-функције било којом посебном формулом, можемо изабрати услове Бор—Молерупове теореме као дефиницију, а затим одабрати било коју формулу која нам се свиђа и која задовољава услове као почетну тачку за проучавање гама-функције. Овај приступ је користила група Бурбаки.

Џонатан Борвајн и Корлес су прегледали три века рада на гама-функцији.^[67]

Референтне табеле и софтвер

Апсолутна вредност комплексне гама функције, нацртана ручно, из Табела више функција од Јанке и Емде

Иако се гама функција може израчунати практично лако као и било која математички једноставнија функција са модерним рачунаром—чак и са програмивим џепним калкулатором—то наравно није увек био случај. Све до средине 20. века, математичари су се ослањали на ручно прављене табеле; у случају гама функције, посебно табелу коју је израчунао Гаус 1813. и ону коју је израчунао Лежандр 1825.^[68]

Табеле комплексних вредности гама функције, као и ручно цртани графици, дате су у Табелама функција са формулама и кривим од Јанке и Емдеа, први пут објављене у Немачкој 1909. Према Михајлу Берију, „публиковање у Ј&Е тродимензионалног графона који показује полуове гама функције у комплексној равни достигла је скоро иконски статус.“^[69]

У ствари, постојала је мала практична потреба за било чим другим осим реалних вредности гама функције све до 1930-их, када су откривене примене за комплексну гама функцију у теоретској физици. Како су електронски рачунари постали доступни за производњу табела 1950-их, објављене су неколико опсежних табела за комплексну гама функцију да би задовољили потражњу, укључујући табелу тачну на 12 децималних места са америчког Националног завода за стандарде.

Репродукција чувеног комплексног графона Јанхке и Емдеа (Табеле функција са формулама и кривим, 4. изд., Доувер, 1945) гама функције од −4,5 − 2,5i до 4,5 + 2,5i

Имплементације гама функције са двоструком прецизношћу плутајуће зарепреке и њених логаритама сада су доступне у већини софтвера за научно израчунавање и библиотека специјалних функција, на пример TK Solver, Matlab, GNU Octave, и GNU Scientific Library. Гама функција је такође додата стандардној библиотеци C (math.h). Имплементације произвољне прецизности доступне су у већини рачунарских система за алгебру, као што су Mathematica и Maple. PARI/GP, MPFR и MPFUN садрже бесплатне имплементације произвољне прецизности. У неким софтверским калкулаторима, нпр. Виндоусовом калкулатору и ГНОМ калкулатору, функција факторијела враћа Γ(x + 1) када је улаз x нецелобројна вредност.^[70][71]

Види још

• Растући факторијел
• Цахен-Мелин интеграл
• Елиптичка гама функција
• Лемнискатна константа
• Псеудогама функција
• Хадамардова гама функција
• Инверзна гама функција
• Ланцошова апроксимација
• Вишеструка гама функција
• Мултиваријабилна гама функција
• p-адична гама функција
• Поххамеров k-симбол
• Полигама функција
• q-гама функција
• Рамануџанова главна теорема
• Спаужова апроксимација
• Стирлингова апроксимација
• Баргава факторијел