Гранична вредност функције

Гранична вредност функције (лимес функције) је један од основних појмова математичке анализе који се тиче понашања функције у околини неке вредности независне променљиве. Помоћу граничне вредности функције дефинишу се појмови непрекидности, извода и одређеног интеграла. Поред тога значај граничне вредности се огледа у томе што је помоћу ње могуће анализирати понашање и вредност функције у околини неке тачке чак и када функција у самој тој тачки није дефинисана.

	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0,841471
0,8	0,896695
0,6	0,941071
0,2	0,993347
0,04	0,999733
0,002	0,999999

Иако функција није дефинисана за  = 0, како вредност тежи нули вредност функције постаје произвољно близу јединице мада је никада не достиже. Каже се да је 1 гранична вредност ове функције када тежи нули.

Неформално речено, функција има граничну вредност у тачки када је вредност функције „близу「 кад год је вредност независне променљиве „близу「 . Другим речима, када се функција примени на вредност довољно близу вредности , резултат је произвољно близу вредности . Уколико се вредности функције за тачке у околини веома разликују (ако се не „стабилизују「 око неке одређене вредности) каже се да функција нема граничну вредност.

Иако је идеја о граничној вредности постојала још од античког времена, углавном у форми геометријске интуиције, прву модерну формулацију граничне вредности функције је дао Болцано у радовима из 1816. и 1817, али су они постали шире познати тек након његове смрти.^[1][2] Коши је први користио граничне вредности у доказима у својој књизи из 1821, међутим како је он дао само вербалну дефиницију лимеса,^[3] формална дефиниција, у „епсилон-делта「 форми, се обично приписује Вајерштрасу.

Дефиниција

Нека је функција реалне променљиве са вредностима у скупу реалних бројева и нека је тачка из проширеног скупа реалних бројева (скуп реалних бројева који укључује негативну и позитивну бесконачност) тачка нагомилавања неког подскупа реалних бројева , а такође тачка из проширеног скупа реалних бројева. Тачка је гранична вредност функције у тачки (тј. када аргумент функције тежи вредности ), што се означава као

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b,}$

ако за сваку околину тачке постоји околина тачке таква да се вредност функције за сваку тачку из налази у .

Када тежи , за произвољно изабрану ε-околину тачке мора постојати δ-околина тачке за чије елементе вредност функције припада ε-околини.

Пошто функција не мора бити дефинисана у самој тачки , а гранична вредност не зависи од вредности функције у тој тачки, изнета дефиниција се формално може изразити као

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b\Longleftrightarrow {\big (}\forall V(b){\big )}{\big (}\exists U(a){\big )}\,f{\big (}{\overset {\circ }{U}}(a){\big )}\subset V(b),}$

где је ${\displaystyle {\overset {\circ }{U}}(a)}$ околина која не садржи саму тачку .

Да би се дата дефиниција изразила на оперативнији начин (који се може директно користити у доказивању одређене граничне вредности) морају се одвојено посматрати случајеви када су и/или коначне, односно бесконачне вредности. Када су обе вредности коначне важи:

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b\Longleftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon ).}$

Суштина изнете дефиниције је у следећем: ако је дата произвољна вредност ε, којом може да се изрази околина преко наведене неједнакости, да би била гранична вредност функције када тежи , мора постојати једна одређена вредност δ којом се може изразити околина преко одговарајуће неједнакости. Оваква дефиниција граничне вредности се приписује Вајерштрасу и назива се „епсилон-делта「 дефиницијом (или дефиницијом „на језику околина「).

Гранична вредност је када тежи позитивној бесконачности: када је веће од , вредност функције је увек у ε-околини тачке .

У случају када тежи (позитивној или негативној) бесконачности, а гранична вредност је коначна важи

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=b\Longleftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists s>0)(\forall x\in A)(x>s\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon ),}$

односно

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=b\Longleftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists s<0)(\forall x\in A)(x<s\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon ).}$

У случају када је гранична вредност бесконачна за коначну вредност независне променљиве дефиниција гласи

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=+\infty \Longleftrightarrow (\forall s>0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>s),}$

односно

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=-\infty \Longleftrightarrow (\forall s<0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<s).}$

Нека је дата функција ${\displaystyle \alpha :A\to \mathbb {R} }$ и ако је ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to a}\alpha (x)=0.}$ Функција α се назива бесконачно малом када тежи .

Леви и десни лимес

Леви и десни лимес: како тежи вредности са различитих страна лева и десна гранична вредност функције у тачки се разликују, па иако оба једнострана лимеса постоје, функција нема граничну вредност у тој тачки.

Често се дешава да функција има граничну вредност само са једне стране тачке нагомилавања . Ако је дат скуп ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{+}\cap A=\{x\in A\mid x>a\}}$ и функција ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ,}$ гранична вредност (уколико постоји)

${\displaystyle \lim _{\mathbb {R} _{a}^{+}\cap A\ni x\to a}f(x)\;{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{x\to a+0}f(x)\;{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{x\to a^{+}}f(x)}$

назива се десном граничном вредношћу функције у тачки . Ако је = 0, записује се ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to +0}f(x)}$ или ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x).}$

Аналогно, за скуп ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{-}\cap A=\{x\in A\mid x<a\},}$ дефинише се лева гранична вредност са аналогном ознаком

${\displaystyle \lim _{\mathbb {R} _{a}^{-}\cap A\ni x\to a}f(x)\;{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{x\to a-0}f(x)\;{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{x\to a^{-}}f(x).}$

Лимес функције постоји ако и само ако су леви и десни лимес једнаки (под условом да је домен функције такав да има смисла говорити о једностраним лимесима).

Дефиниција помоћу низова

Услов за егзистенцију граничне вредности функције може се дефинисати и преко граничне вредности низа. Тиме се добија алтернативна дефиниција граничне вредности функције која је еквивалентна претходној, „епсилон-делта「 дефиницији.

Гранична вредност реалне функције ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ у тачки из проширеног скупа реалних бројева, једнака је вредности такође из проширеног скупа реалних бројева ако и само ако за сваки низ (), такав да је

${\displaystyle x_{n}\in A\setminus \{a\}(n\in \mathbb {N} ),\quad \lim _{n\to \infty }x_{n}=a,}$

важи

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=b.}$

Види још

• Лопиталово правило
• Гранична вредност низа
• Асимптотска сложеност