Paraboloid

U geometriji, paraboloid je kvadratna površina koja ima tačno jednu osu simetrije i nema centar simetrije. Termin "paraboloid" izveden je od parabole, što se odnosi i na konusni presjek koji ima slično svojstvo simetrije.^[1]

Parabolod

Paraboloid je geometrijska površina koja nastaje rotacijom parabole po njenoj osi.

Paraboloid

Paraboloid je geometrijska površina drugog reda. Postoje dve vrste paraboloida: eliptični i hiperbolički.

Eliptični paraboloid

Eliptični paraboloid.

Eliptični paraboloid je telo čija je baza eliptičnog oblika i ima minimalnu ili maksimalnu tačku.

Algebarski model Eliptični paraboloid s vrhom u tački ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ i ravni simetrije paralelnim s ravni ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle y=0}$ ima jednačinu: ${\displaystyle z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}+{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}}$

gde je ${\displaystyle pq>0}$

Rotacioni paraboloid

Rotacioni paraboloid je telo koje nastaje rotacijom parabole oko sopstvene ose i kruga koji čini bazu tela. Algebarski model Rotacioni paraboloid sa vrhom u tački ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ je specijalan slučaj eliptičnog parabolida, za koji važi da je ${\displaystyle p=q}$, to znači za rotacioni paraboloid sa osom rotacije paralelnoj sa osom z važi: ${\displaystyle 2p(z-z_{0})={(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}}$

Volumen rotacionog paraboloida: ${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\pi \rho ^{2}h}$ gde je ${\displaystyle \rho }$ poluprečnik kružne baze i ${\displaystyle h}$ je visina paraboloida

Hiperbolički paraboloid

Hiperbolički paraboloid.

Algebarski model Hiperbolički paraboloid sa vrhom u tački ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ i ravni simetrije paralelne sa ravni ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle y=0}$ ima jednačinu: ${\displaystyle z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}}$

gde je ${\displaystyle pq>0}$

Osobine

U oblasti hiperboličkog paraboloida postoje dva sistema pravih, pri čemu svaka prava jednog sistema preseca svaku pravu drugog sistema, ili proizvoljne dve prave jednog sistema se mimoilaze. Za paraboloid sa centrom u tački ${\displaystyle [0,0,0]}$ mogu se oba sistema pravih zapisati kao

${\displaystyle k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z}$

${\displaystyle k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}q|}}}\right)=k_{1}}$

${\displaystyle k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z}$

${\displaystyle k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}}$