Teorija reprezentacije

Teorija reprezentacije je grana matematike koja proučava apstraktne algebarske strukture predstavljajući njihove elemente kao linearne transformacije vektorskih prostora,^[1] i proučava module za ove apstraktne algebarske strukture.^[2][3] U suštini, reprezentacija čini apstraktni algebrski objekat konkretnijim opisujući njegove elemente matricama i njegovim algebarskim operacijama (na primer, sabiranje matrica, množenje matrica). Teorija matrica i linearnih operatora je dobro izučena, tako da reprezentacija apstraktnijih objekata u smislu poznatih linearnih algebričnih objekata pomaže u sticanju uvida u svojstava, a ponekad i pojednostavljuje izračunavanja na apstraktnijim teorijama.

Teorija reprezentacije proučava kako algebarske strukture „deluju” na objekte. Najjednostavniji primeri su kako simetrije pravilnih poligona, koje se sastoje od refleksija i rotacija, transformišu poligon.

Algebrski objekti koji se mogu opisati uključuju grupe, asocijativne algebre i Lijeve algebre. Najprominentnija od njih (i istorijski prva) je teorija reprezentacije grupa, u kojoj su elementi grupe predstavljeni invertabilnim matricama na takav način da je grupna operacija množenje matrica.^[4][5]

Teorija reprezentacije je korisna metoda jer svodi probleme apstraktne algebre na probleme linearne algebre, oblast koja je dobro izučena.^[6] Nadalje, vektorski prostor na kojem je predstavljena grupa (na primer) može biti beskonačno dimenzionalan, i dopuštajući da bude, na primer, Hilbertov prostor, metode analize mogu se primeniti na teoriju grupa.^[7][8] Teorija reprezentacije je takođe važna u fizici jer, na primer, ona opisuje kako grupa simetrije fizičkog sistema utiče na rešenja jednačina koja opisuju taj sistem.^[9]

Teorija reprezentacije je iz dva razloga prožimajuća u više oblasti matematike. Prvo, primene teorije reprezentacije su raznovrsne,^[10] te pored uticaja na algebru, teorija reprezentacije:

• osvetljava i generališe Furijeovu analizu putem harmonijske analize,^[11]
• povezana je sa geometrijom putem invariantne teorije i Erlangenovog programa,^[12]
• ima uticaja na teoriju brojeva putem automorfnih formi i programa Langlandsa.^[13]

Drugo, postoje različiti pristupi teoriji reprezentacije. Isti se objekti mogu proučavati metodama iz algebarske geometrije, teorije modula, teorije analitičkih brojeva, diferencijalne geometrije, teorije operatora, algebarske kombinatorike i topologije.^[14]

Uspeh teorije reprezentacije doveo je do brojnih generalizacija. Jedna od najčešćih je u teoriji kategorija.^[15] Algebarski objekti na koje se odnosi teorija reprezentacije mogu se posmatrati kao posebne vrste kategorija, a reprezentacije kao funktori iz kategorije objekta u kategoriju vektorskih prostora.^[5] Ovaj opis ukazuje na dve očigledne generalizacije: prvo, algebarski objekti se mogu zameniti opštijim kategorijama; drugo, ciljna kategorija vektorskih prostora može se zameniti drugim dobro izučenim kategorijama.

Definicije i koncepti

Neka je vektorski prostor nad poljem .^[6] Na primer, prostor je ili , standardni -dimenzionalni prostor od kolonskih vektora nad realnim ili kompleksnim brojevima, respektivno. U tom slučaju, ideja reprezentacione teorije je da se primeni apstraktna algebra konkretno koristeći × matrice realnih ili kompleksnih brojeva.

Postoje tri glavne vrste algebarskih objekata za koje se to može učiniti: grupe, asocijativne algebre i Lijeve algebre.^[16][5]

• Skup svih invertabilnih matrica je grupa pod matričnim množenjem, i teorija reprezentacije grupa analizira grupu opisivanjem („reprezentacijom”) njenih elemenata u smislu inverzibilnih matrica.
• Matrično sabiranje i množenje sačinjavaju skup svih matrica u asocijativnoj algebri, i stoga postoji korespondirajuća teorija reprezentacije asocijativnih algebri.
• Ako se zameni matrično množenje sa matričnim komutatorom , onda matrice postaju umesto toga Lijeva algebra, što dovodi so teorije reprezentacije Lijevih algebri.

Ovo se generalizuje do bilo kog polja i bilo kog vektorskog prostora nad , pri čemu linearne mape zamenjuju matrice i kompozicija zamenjuje matrično množenje: postoji grupa automorfizama od , asocijativna algebra svih endomorfizama od , i korespondirajuća Lijeva algebra .