Standardna greška

Standardna greška (engl. - ) statističkog parametra (obično procene parametra) je standardna devijacija njegove distribucije uzorkovanja^[1] ili procena tog standardnog odstupanja. Ako je parametar ili statistika srednja vrednost, ona se naziva standardnom greškom srednje vrednosti (engl. - ).

Za vrednost koja je uzorkovana sa nepristrasnom normalno raspodeljenom greškom, gore prikazano predstavlja udeo uzoraka koji bi pao između 0, 1, 2 i 3 standardne devijacije iznad i ispod stvarne vrednosti.

Distribucija uzorka populacione srednje vrednosti se generiše ponovljenim uzorkovanjem i beleženjem dobijenih srednjih vrednosti.^[2] Ovo formira distribuciju različitih srednjih vrednosti, i ova distribucija ima svoju srednju vrednosti i varijansu. Matematički, dobijena varijansa distribucije uzorkovanja jednaka je varijansi populacije podeljenoj veličinom uzorka. To je zato što kako se veličina uzorka povećava, srednje vrednosti uzoraka se bliže grupišu oko oko populacione srednje vrednosti. Stoga je odnos između standardne greške i standardne devijacije takav da je za datu veličinu uzorka standardna greška jednaka standardnoj devijaciji podeljenoj sa kvadratnim korenom veličine uzorka. Drugim rečima, standardna greška srednje vrednosti je mera disperzije srednjih vrednosti uzorka oko populacione srednje vrednosti.

U regresijskoj analizi, izraz „standardna greška」 odnosi se na kvadratni koren redukovane hi-kvadratne statistike^[3][4][5] ili na standardnu grešku za dati koeficijent regresije (kao što se koristi, na primer, u intervalima poverenja).

Standardna greška srednje vrednosti

Populacija

Standardna greška srednje vrednosti (SEM) se može izraziti kao:

${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ ={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$

gde je

σ - standardna devijacija populacije.

- veličina (broj opservacija) uzorka.

Procena

Budući da je populaciona standardna devijacija retko poznata, standardna greška srednje vrednosti obično se procenjuje kao standardna devijacija uzorka podeljena sa kvadratnim korenom veličine uzorka (pod pretpostavkom statističke nezavisnosti vrednosti u uzorku).

${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {s}{\sqrt {n}}}}$

gde je

- standardna devijacija uzorka (i.e., procena bazirana na uzorku standardne devijacije populacije), i

- veličina (broj opservacija) uzorka.

Primer

U onim kontekstima u kojima je standardna greška srednje vrednosti definisana ne kao standardna devijacija srednje vrednosti uzorka, već kao njena procena, ta se procena tipično daje kao njena vrednost. Stoga je uobičajeno da se standardna devijaciju srednje vrednosti alternativno definiše kao:

${\displaystyle {\text{s}}_{\bar {x}}\ ={\frac {s}{\sqrt {n}}}}$

Standardna devijacija prosečne vrednosti uzorka jednaka je standardnoj devijaciji greške u srednjoj vrednosti uzorka u odnosu na pravu srednju vrednost, jer je srednja vrednost uzorka nepristrani procenjivač. Stoga se standardna greška srednje vrednosti može razumeti i kao standardna devijacija greške u srednjoj vrednosti uzorka u odnosu na pravu srednju vrednost (ili procenu te statistike).

Napomena: standardna greška i standardna devijacija malih uzoraka imaju tendenciju da sistematski potcenjuju populacionu standardnu grešku i standardnu devijaciju: standardna greška srednje vrednosti je pristrani procenjivač populacione standardne greške. Sa = 2, potcenjivanje je oko 25%, doj je za = 6, potcenjivanje je samo 5%. Gurland i Tripati (1971) daju korekciju i jednačinu ovog efekta.^[6] Sokal i Rohlf (1981) daju jednačinu korekcijskog faktora za male uzorke od < 20.^[7] Pogledajte nepristrasnu procenu standardne devijacije za dalju diskusiju.

Praktični rezultat: Smanjenje neizvesnosti u proceni srednje vrednosti za faktor dva zahteva dobijanje četiri puta više opažanja u uzorku. Ili za smanjenje standardne greške za deset puta potrebno je sto puta više opažanja.

Derivacije

Glavni članak: Variansa § Suma nekoreliranih promenljivih (Bjenemeova formula)

Formula se može izvesti iz varijanse sume nezavisnih randomnih promenljivih.^[8]

• Ako su ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ nezavisnih opservacija iz populacije koja ima srednju vrednost ${\displaystyle \mu }$ i standardnu devijaciju ${\displaystyle \sigma }$, onda je ${\displaystyle n\sigma ^{2}}$ varijansa totala ${\displaystyle T=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}$.
• Varijansa od ${\displaystyle T/n}$ (srednje vrednosti ${\displaystyle {\bar {x}}}$) je ${\displaystyle n\left({\frac {\sigma ^{2}}{n^{2}}}\right)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$ Alternativno, ${\displaystyle {\text{var}}({\frac {T}{n}})={\frac {1}{n^{2}}}{\text{var}}(T)={\frac {1}{n^{2}}}n\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$
• Standardna devijacija od ${\displaystyle T/n}$ je ${\displaystyle \sigma /{\sqrt {n}}}$

Nezavisne i identično distribuirane randomne promenljive sa randomnom veličinom uzorka

Postoje slučajevi kada se uzima uzorak, a da se unapred ne zna koliko će opažanja biti prihvatljiva prema nekom kriterijumu. U takvim slučajevima, veličina uzorka je randomna promenljiva čija varijacija se dodaje varijaciji X, tako da

.^[9]

Ako ima Puasonovu distribuciju,^[10][11] onda je sa procenjivačem . Stoga procenjivač za postaje dajući^[12]

standardna greška.

Studentova aproksimacija kad je σ vrednost nepoznata

Glavni članak: Studentova t-distribucija § Interval poverenja

U mnogim praktičnim aplikacijama prava vrednost σ nije poznata. Konsekventno, neophodno je da se koristi distribuciju koja uzima u obzir opseg mogućih σ vrednosti. Kada je poznato da je istinska ishodišna distribucija Gausijan, iako sa nepoznatim σ, tada dobijena procenjena distribucija sledi Studentovu t-distribuciju. Standardna greška je standardna devijacija Studentove t-distribucije. T-distribucije se donekle razlikuju od Gausove i variraju u zavisnosti od veličine uzorka. Mali uzorci u izvesnoj meri verovatnije mogu da dovedu do potcenjivanja populacione standardne devijacije i imaju srednju vrednost koja se razlikuje od stvarne populacione srednje vrednosti. Studentova t-distribucija daje verovatnoću ovih događaja s nešto težim repovima u poređenju sa Gausovom. Za procenu standardne greške Studentove t-distribucije dovoljno je da se koristi uzorkovanje standardne devijacije umjesto σ, i to se može koristiti za izračunavanje intervala poverenja.^[13][14]

Napomena: Studentova raspodela verovatnoće je dobra aproksimacija za Gausovu raspodelu kad je veličina uzorka veća od 100. Za takve uzorke može se koristiti potonja raspodela, koja je znatno jednostavnija.

Vidi još

• Koeficijent varijacije
• Ilustracija centralne granične teoreme
• Verovatna greška
• Ponderisana aritmetička sredina
• Srednja vrednost i kovarijansa uzorka
• Varijansa