Искључива дисјункција

Логички оператор искључива дисјункција, такође позната као искључиво ИЛИ, ексклузивна дисјункција и обележавана као ЕКСИЛИ (енг. XOR) или ⊕, је врста логичке дисјункције над два операнда, чији је резултат тачан само ако један од исказа има вредност тачан.

Венов дијаграм за ${\displaystyle ~A\oplus B}$ али није

Венов дијаграм за ${\displaystyle ~A\oplus B\oplus C}$ ${\displaystyle ~\oplus ~}$ ${\displaystyle ~\Leftrightarrow ~}$

Другачије речено, искључива дисјункција је логичка операција над две логичке вредности, који даје вредност тачан само у случајевима када се вредности операнда разликују.

Табела истинитости

Табела истинитости за ${\displaystyle ~A\oplus B}$ (такође се пише као ${\displaystyle A\,\mathrm {XOR} \,B}$ или ${\displaystyle A\neq B}$) је следећа:

УЛАЗ		ИЗЛАЗ
		ЕКСИЛИ
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Еквиваленти, елиминација и увођење

Следећи еквиваленти могу бити изведени, написани са логичким операторима, у математичкој и инжењерској нотацији:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)&=&p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\\\&=&(p\lor q)&\land &(\lnot p\lor \lnot q)&=&(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\\\&=&(p\lor q)&\land &\lnot (p\land q)&=&(p+q)({\overline {pq}})\end{matrix}}}$

Искључива дисјункција ${\displaystyle p\oplus q}$ може да се изрази као логичка конјункција (${\displaystyle \wedge }$), дисјункција (${\displaystyle \lor }$) и негација (${\displaystyle \lnot }$) на следећи начин:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}}$

Искључива дисјункција ${\displaystyle p\oplus q}$, такође, може да се изрази на следећи начин:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}}$

Понекад је корисно да се ${\displaystyle p\oplus q}$ пише на следећи начин:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}}$

Алтернативни симболи

Симболи за искључиву дисјункцију зависе од његове употребе, и од својства који су истакнути у датом контексту. Поред скраћенице ЕКСИЛИ, било који од следећих симбола се могу користити:

• Знак плус (${\displaystyle +}$). У математици, искључива дисјункција одговара сабирању по модилу 2, која има следећу табелу сабирања:

Сабирање по модулу 2

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p+q}$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

• Употреба знака плус има додатну предност у томе што се алгебраска својства математичког прстена и поља могу користити без додатних потешкоћи.

• Заокружен знак плус (${\displaystyle \oplus }$).

• Симбол укључива дисјункција (${\displaystyle \lor }$), промењена на неки начин, као што је подвучено (${\displaystyle {\underline {\lor }}}$) и са тачком изнад (${\displaystyle {\dot {\vee }}}$).

Својства

Овај одељак користи следеће симболе:

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\mbox{false}}\\1&=&{\mbox{true}}\\\lnot p&=&{\mbox{not}}\ p\\p+q&=&p\ {\mbox{xor}}\ q\\p\land q&=&p\ {\mbox{and}}\ q\\p\lor q&=&p\ {\mbox{or}}\ q\end{matrix}}}$

Следеће једначине следе из логичке аксиоме:

${\displaystyle {\begin{matrix}p+0&=&p\\p+1&=&\lnot p\\p+p&=&0\\p+\lnot p&=&1\\\\p+q&=&q+p\\p+q+p&=&q\\p+(q+r)&=&(p+q)+r\\p+q&=&\lnot p+\lnot q\\\lnot (p+q)&=&\lnot p+q&=&p+\lnot q\\\\p+(\lnot p\land q)&=&p\lor q\\p+(p\land \lnot q)&=&p\land q\\p+(p\lor q)&=&\lnot p\land q\\\lnot p+(p\lor \lnot q)&=&p\lor q\\p\land (p+\lnot q)&=&p\land q\\p\lor (p+q)&=&p\lor q\end{matrix}}}$

Асоцијативност и комутативности

Са изоморфизмичке тачке гледишта између сабирања по модула 2 и искључиве дисјункције, јасно је да је ЕКСИЛИ и асоцијативна и комутативна операција. Тако се заграда може изоставити у узастопним операцијама не правећи разлику у резултату. На пример, имамо следеће једначине:

${\displaystyle {\begin{matrix}p+q&=&q+p\\\\(p+q)+r&=&p+(q+r)&=&p+q+r\end{matrix}}}$

Рачунарство

Оператори над битовима

ЕКСИЛИ логичка капија

Искључива дисјункција се често користи у операторима над битовима. Примери:

• 1 ексили 1 = 0
• 1 ексили 0 = 1
• 0 ексили 0 = 0
• 1110 ексили 1001 = 0111

Спољашње везе