Zakrivljenost

U matematici, zakrivljenost se odnosi na brojne, u maloj meri povezane koncepte iz različitih oblasti geometrije. Intuitivno, zakrivljenost je mera odstupanja geometrijskog objekta od ravni, ili prave u slučaju linije, ali se to definiše na različite načine u zavisnosti od konteksta.

Prikaz zakrivljenosti prostor-vremena.

Svaka neprekidna kriva može se aproksimirati krugom određenog poluprečnika u okolini date tačke. Pretpostavimo da je kriva data u ravni. Poluprečnik kruga koji je dodiruje u tački () i ima isti prvi i drugi izvod kao i data kriva u toj tački predstavlja zakrivljenost krive. Krenimo od jednačine kruga sa centrom u tački ()

${\displaystyle \left(x-p\right)^{2}+\left(y-q\right)^{2}=r^{2}}$ , (1)

gde je poluprečnik kruga.

Diferenciranjem ove jednačine dobijamo

${\displaystyle \left(x-p\right)+\left(y-q\right)y'=0}$ , (2)

a još jednim diferenciranjem

${\displaystyle 1+y'^{2}+\left(y-q\right)y''=0}$ . (3)

Iz (3) dobijamo da je

${\displaystyle y-q=-\left(1+y'^{2}\right)/y''}$, (4)

a vraćanjem ovog rezultata u (2) sledi

${\displaystyle x-p=y'\left(1+y'^{2}\right)/y''}$, (5).

Uvrštavanjem (4) i (5) u (1), dobijamo da je poluprečnik (krivine) kruga dat sa:

${\displaystyle r=\left(1+y'^{2}\right)^{\left(3/2\right)}/\left|y''\right|}$ , (6)

uz napomenu da je uvek pozitivan.

Za sve tačke na krugu, pa tako i tačke dela krive koju krug aproksimira (dodirna tačka i beskonačno mala okolina) veza poluprečnika kruga (zakrivljenosti) i prvog i drugog izvoda krive u toj tački data je jednačinom (6).

Ukoliko pomerimo koordinatni početak u dodirnu tačku kruga i krive i još postavimo x osu da se poklopi sa tangentom krive u toj tački, prvi izvod postaje nula i jednačina poluprečnika krivine (zakrivljenosti krive) se svodi na:

${\displaystyle r=1/\left|y''\right|}$ .

Iz jednačina (4) i (5) mogu se za svaku tačku krive odrediti koordinate centra kruga zakrivljenosti i . Te tačke definišu novu krivu koja se naziva centroida.

Literatura

date= (помоћ)

Curvature at the Encyclopaedia of Mathematics

Morris Kline: Calculus: An Intuitive and Physical Approach. Dover. 1998. стр. 457–461 ,. ISBN 978-0-486-40453-0.(restricted online copy на веб-сајту Гугл књиге)

A. Albert Klaf: Calculus Refresher. Dover. 1956. стр. 151–168 ,. ISBN 978-0-486-20370-6.(restricted online copy на веб-сајту Гугл књиге)

James Casey: Exploring Curvature. 1996. ISBN 978-3-528-06475-4.. Vieweg+Teubner Verlag. .

Спољашње везе