Delbarhet

Ett heltal ${\textstyle a}$ är delbart med ett annat heltal ${\textstyle b}$ om det finns ett heltal ${\textstyle k}$ så att ${\textstyle a=b\cdot k}$. Man säger också att "${\textstyle b}$ är en delare (eller divisor) i ${\textstyle a}$" eller att "${\textstyle b}$ delar ${\textstyle a}$". I dagligt tal säger man att ${\textstyle a}$ är jämnt delbart med ${\textstyle b}$.

Delbarheten av 60.

Att ${\textstyle b}$ delar ${\textstyle a}$ skrivs ofta ${\textstyle b|a}$.^[1]

Skillnad mellan delbarhet och division

Delbarhet är en matematisk relation och bör inte sammanblandas med operationen "delat med", division. Utsagan

${\displaystyle 3|6}$

är en sann utsaga, därför att det finns minst ett heltal, nämligen talet 2, som multiplicerat med 3 ger produkten 6. Uttrycket

${\displaystyle {\frac {6}{3}}}$

har värdet 2, därför att 2 är det enda tal som multiplicerat med 3 ger produkten 6. Likaså är utsagan

${\displaystyle 0|0}$

en sann utsaga, därför att det finns minst ett heltal (exempelvis talet 2867) som multiplicerat med 0 ger produkten 0. Däremot har uttrycket

${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

inte något definierat värde. Division med noll som nämnare är inte definierat; men delbarhet med 0 som delare är helt accepterat.

Exempel

• ${\textstyle 5|15}$, eftersom ${\textstyle 15=3\cdot 5}$
• ${\textstyle (-5)|15}$, eftersom ${\textstyle 15=(-3)\cdot (-5)}$
• ${\textstyle b|0}$ för alla ${\textstyle b}$, eftersom ${\textstyle 0=b\cdot 0}$
• ${\textstyle a|a}$ för alla ${\textstyle a}$, eftersom ${\textstyle a=a\cdot 1}$

Egenskaper

Enkla satser om delbarhet (gäller för alla heltal ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$, ${\textstyle c}$):

• Om ${\textstyle a|b}$, så ${\textstyle a|bc}$ ^[2]
• Om ${\textstyle c|a}$ och ${\textstyle c|b}$, så ${\textstyle c|(ax+by)}$ för alla heltal x och y ^[2]
• Om ${\textstyle a|b}$ och ${\textstyle b|c}$, så ${\textstyle a|c}$ ^[2]

Om ${\textstyle a}$ och ${\textstyle b}$ är positiva heltal och ${\displaystyle a|b}$, så är värdet av uttrycket ${\displaystyle {b \over a}}$ ett positivt heltal, och ${\displaystyle {b \over a}|b}$.

Detta medför att ${\textstyle b}$ har ett udda antal positiva delare om och endast om ${\displaystyle {b \over a}=a}$ för något positivt heltal ${\textstyle a}$, alltså om och endast om ${\textstyle b}$ är en heltalskvadrat.

Om ${\textstyle a}$ är ett heltal större än 1 och vars enda delare är ${\textstyle \pm 1}$ och ${\textstyle \pm a}$ sägs ${\textstyle a}$ vara ett primtal.

Se även

• Primtal
• Största gemensamma delare
• Äkta delare
• Kvot