Exponentialfunktion

Exponentialfunktioner är en klass av matematiska funktioner som kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet. Exempelvis kan ränta på ränta beräknas som

${\displaystyle slutbeloppet=r^{x}\cdot startbeloppet}$

Exponentialfunktionen ${\displaystyle y=e^{x}}$

där r^x är en exponentialfunktion, den årliga räntefaktorn är r (till exempel 1,10 för 10 % ränta) och x antalet år.

Exponentialfunktionerna kan skrivas på flera former, exempelvis

• ${\displaystyle f(x)=C\cdot \mathrm {e} ^{kx}}$
• ${\displaystyle f(x)=C\cdot a^{x}}$
• ${\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{kx+a}}$

Då det talas om exponentialfunktionen (i bestämd form), avses funktionen f(x) = e^x (skrivs även som exp(x) i de flesta programspråk). ^[1]

Talet e är den naturliga logaritmens bas och har egenskapen att

${\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{x}\quad \Rightarrow \quad f'(x)=f(x)}$

det vill säga, exponentialfunktionen är sin egen derivata. Därför är det ofta lämpligt att skriva om exponentialfunktioner till basen e när de används exempelvis vid deriveringar eller i differentialekvationer.

Definition

Det finns minst fem olika sätt att definiera exponentialfunktionen som en funktion vars definitionsmängd är de reella talen och vars värdemängd är de positiva reella talen:

1. Som en potensserie:

   ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{1\cdot 2}}+{\frac {x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {x^{4}}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots$ ;}

2. Som den unika lösningen till integralekvationen

   ${\displaystyle f(x)=1+\int _{0}^{x}f(y)\,dy;}$

3. Som talet e upphöjt till talet x
4. Som den inversa funktionen till den naturliga logaritmfunktionen
5. Som en gränsfunktion:

   ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

Definitionerna 1 och 5 kan generaliseras till att gälla mer abstrakta rum än de reella talen. Exempelvis kan en "exponentialfunktion" definieras i så kallade Banachalgebror; dessa är Banachrum med den extra strukturen att en produkt av två element i Banachrummet förblir ett element i Banachrummet.

Har man väl valt en av ovanstående framställningar som definition av exponentialfunktionen så kommer de övriga fyra att vara teorem om exponentialfunktionens egenskaper.

Derivator och differentialekvationer

Exponentialfunktionens derivata är lika med funktionsvärdet. Från en godtycklig punkt P på kurvan (blå), bildar tangenten (röd) och en vertikal linje (grön) med höjden h, en rätvinklig triangel med basen b. Då tangentens lutning i P är h/b och derivatan är lika med funktionsvärdet h, måste b alltid vara lika med 1

Derivatan av en exponentialfunktion är också en exponentialfunktion, närmare bestämt är

${\displaystyle {d \over dx}\mathrm {e} ^{kx}=k\mathrm {e} ^{kx}\,\!}$

eller allmänt

${\displaystyle {d \over dx}a^{kx}=\ln(a)k\,a^{kx}}$

Detta innebär att en differentialekvation av första ordningen

${\displaystyle {dy \over dx}+ay=0}$

har lösningen

${\displaystyle y=C\mathrm {e} ^{-ax}}$

vilken kan användas för att beräkna radioaktiva ämnens sönderfallshastighet och en approximation av tillväxten av en population, då denna är så liten att medlemmarna i populationen inte konkurrerar nämnvärt med varandra om resurser.

Se vidare om differentialekvationer av första ordningen.

Exponentialfunktioner med reella argument

Några egenskaper hos exponentialfunktioner när x är ett reellt tal:

• Exponentialfunktioner är strikt växande eller strikt avtagande.
• Exponentialfunktioner skär aldrig x-axeln – funktionsvärdet växlar aldrig tecken.

Exponentialfunktioner med komplexa argument

En exponentialfunktion med ett komplext argument kan skrivas på formen

${\displaystyle f(x)=C\cdot \mathrm {e} ^{(a+b\mathrm {i} )x}}$

som i sin tur kan skrivas på formen

${\displaystyle f(x)=C\cdot \mathrm {e} ^{ax}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \cdot bx}}$

De första två faktorerna beter sig som en reell exponentialfunktion, med eventuell anpassning för att C kan vara ett komplext tal, medan den sista faktorn bildar komplexvärd funktion.

Den komplexvärda faktorn kan beskrivas med sambandet

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}=\cos(x)+\mathrm {i} \,\sin(x)}$

Av detta följer också att exponentialfunktioner med rent imaginära argument ger en periodisk funktion enligt

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (x+2\pi )}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$

Se även

• Exponentiell avbildning
• Matrisexponential
• Potensfunktion