Generaliserad integral

Definition

En integral ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ sägs vara generaliserad om ${\displaystyle f(x)}$ inte är definierad, är obegränsad i ett ändligt antal punkter och minst i en punkt på ${\displaystyle [a,b]}$, eller om en integrationsgräns formellt ersatts med ${\displaystyle \infty }$ eller ${\displaystyle -\infty }$. En multipelintegral ${\displaystyle \int \ldots \int _{D}fdx_{1}\ldots dx_{n}}$ sägs vara generaliserad om ${\displaystyle f}$ är obegränsad, odefinierad i någon del av ${\displaystyle D}$, eller om ${\displaystyle D}$ är obegränsad.

Betydelse

Antag att ${\displaystyle f(x)}$ är definierad på intervallet ${\displaystyle [a,b]}$. Då definieras ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx:=\lim _{c\rightarrow b}\left(\int _{a}^{c}f(x)dx\right)}$, ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx:=\lim _{c\rightarrow \infty }\left(\int _{a}^{c}f(x)dx\right)}$ och ${\displaystyle \int _{a}^{-\infty }f(x)dx}$ analogt. Alla generaliserade integraler kan överföras till en linjärkombination av de ovanstående tre integralerna. Om ${\displaystyle f({\bar {x}})\geq 0\forall {\bar {x}}\in D}$ och ${\displaystyle \int \ldots \int _{D}fdx_{1}\ldots d_{n}}$ är generaliserad så definieras ${\displaystyle \int \ldots \int _{D}fdx_{1}\ldots d_{n}:=\lim _{p\rightarrow \infty }\int \ldots \int _{E_{p}}fdx_{1}\ldots d_{n}}$, där ${\displaystyle (E_{n})}$ är en uttömmande svit till ${\displaystyle D}$. Om ${\displaystyle f}$ växlar tecken på ${\displaystyle D}$ så definieras ${\displaystyle \int \ldots \int _{D}fdx_{1}\ldots d_{n}:=\int \ldots \int _{\Omega _{+}}fdx_{1}\ldots d_{n}-\int \ldots \int _{\Omega _{-}}fdx_{1}\ldots d_{n}}$, där ${\displaystyle \Omega _{+}\cap \Omega _{-}=\emptyset \land \Omega _{+}\cup \Omega _{-}=D\land f({\bar {x}})\geq 0\forall {\bar {x}}\in \Omega _{+}\land f({\bar {x}})\leq 0\forall {\bar {x}}\in \Omega _{-}}$.

Konvergens

En generaliserad integral ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ säges konvergera om gränsvärdet i definitionen av generaliserad integral existerar ändligt. Om integralen inte konvergerar säges den divergera.

Se även

• Integral
• Multipelintegral

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Generaliserad integral.
  Bilder & media