Prothtal

Prothtal, uppkallat efter matematikern François Proth, är inom talteorin ett tal av formen

${\displaystyle k\cdot 2^{n}+1}$

där ${\displaystyle k}$ är ett udda positivt heltal och ${\displaystyle n}$ är ett positivt heltal sådant att ${\displaystyle 2^{n}>k}$. Utan den sistnämnda termen skulle alla udda heltal större än 1 vara Prothtal.^[1]

De första Prothtalen är:

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 257, 289, 321, 353, 385, 417, 449, 481, 513, 545, 577, 609, 641, 673, 705, 737, 769, 801, 833, 865, 897, 929, 961, 993, 1025, 1089, 1153, 1217, 1281, 1345, 1409, … (talföljd A080075 i OEIS)

Cullental (n · 2ⁿ + 1) och Fermattal (2²ⁿ + 1) är specialfall av Prothtal.

Prothprimtal

Huvudartikel: Prothprimtal

Ett Prothprimtal är ett Prothtal som även är primtal.

De första Prothprimtalen är:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, 10369, 10753, 11393, 11777, 12161, 12289, 13313, … (talföljd A080076 i OEIS)

Om ett Prothtal är ett primtal kan testas med Proths sats som säger att ett Prothtal ${\displaystyle p}$ är primtal om och endast om det finns heltal ${\displaystyle a}$ för vilka följande gäller:^[2]

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1\ {\pmod {p}}}$

Det största kända Prothprimtalet (2025) är ${\displaystyle 10223\cdot 2^{31172165}+1}$. Det hittades 2016.^[3]

Se även

• Sierpinskital
• PrimeGird – ett distributed computing-projekt som söker efter stora Prothprimtal