Tetraedertal

Tetraedertal eller triangulärt pyramidtal är en sorts figurtal som representerar en pyramid med en triangulär bas (tetraeder). Det n:te tetraedertalet är summan av de första n triangeltal.

En pyramid med sidlängden 5 innehåller 35 sfärer. Varje lager representerar en av de första fem triangeltalen.

De första tetraedertalen är:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (talföljd A000292 i OEIS)

Formel

Formeln för det n:te tetraedertalet representeras av den 3:e stigande faktorn av n dividerat med fakulteten av 3:

${\displaystyle T_{n}={n(n+1)(n+2) \over 6}={n^{\overline {3}} \over 3!}}$

Tetraedertalen kan också representeras som binomialkoefficienter:

${\displaystyle T_{n}={n+2 \choose 3}}$

Tetraedertal kan därför hittas i den fjärde positionen antingen från vänster eller höger i Pascals triangel.

Geometrisk tolkning

Tetraedertal kan modelleras genom att stapla sfärer. Till exempel, det femte tetraedertalet (T₅ = 35) kan bli modellerad med 35 biljardbollar. En standardiserad triangulär biljardbollsram rymmer 15 bollar.

1. Stapla 10 bollar ovanpå de 15 bollarna
2. Stapla 6 bollar ovanpå de 10 bollarna
3. Stapla 3 bollar ovanpå de 6 bollarna
4. Stapla 1 boll ovanpå de 3 bollarna

Då bildas en tetraeder.^[1]

Egenskaper

• A.J. Meyl visade 1878 att endast tre tetraedertal även är perfekta kvadrater, nämligen:

  T₁ = 1² = 1

  T₂ = 2² = 4

  T₄₈ = 140² = 19600

• Det enda tetraedertal som även är kvadratpyramidtal och perfekt kub är 1.
• Den oändliga summan av tetraedertals reciprokar är 2/3, vilket kan härledas genom teleskoperande serier.

  ${\displaystyle \!\ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}}$

• Tetraedertalen följer mönstret udda-jämn-jämn-jämn
• En observation av tetraedertalen:

  T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁

• De tal som både är tetraedertal och triangeltal kan ges genom binomialkoefficientekvationen:

  ${\displaystyle Tr_{n}={n+1 \choose 2}={m+2 \choose 3}=Te_{m}}$

• De tal som både är tetraedertal och triangeltal är (talföljd A027568 i OEIS):

  Te₁ = Tr₁ = 1

  Te₃ = Tr₄ = 10

  Te₈ = Tr₁₅ = 120

  Te₂₀ = Tr₅₅ = 1540

  Te₃₄ = Tr₁₁₉ = 7140