முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும்

வடிவவியலில் ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்டம் அல்லது உட்தொடுவட்டம் என்பது (incircle) அம்முக்கோணத்துக்குள் அமையக்கூடிய யாவற்றினும் மிகப்பெரியதொரு வட்டமாகும். இந்த வட்டம் முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் உட்புறமாகத் தொட்டுக்கொண்டு இருக்கும். இவ்வட்டத்தின் மையமானது முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையம் என அழைக்கப்படுகிறது.

முக்கோணத்தின் (கருப்பு) உள்வட்டம் (நீலம்), உள்வட்டமையம்-(I), வெளிவட்டங்கள் (ஆரஞ்சு), வெளிமையங்கள் (J_A,J_B,J_C), உட்கோண இருசமவெட்டிகள் (சிவப்பு) மற்றும் வெளிக்கோண இருசமவெட்டிகள் (பச்சை)

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிவட்டம் அல்லது வெளிதொடுவட்டம் (excircle) என்பது முக்கோணத்திற்கு வெளியே, முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தையும் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீட்டிப்புகளையும் தொட்டுக்கொண்டு அமையும் ஒரு வட்டமாகும். ஒவ்வொரு முக்கோணத்திற்கும் அதன் ஒவ்வொரு பக்கங்களைத் தொட்டபடி, வெவ்வாறான மூன்று வெளிவட்டங்கள் உண்டு. வெளிவட்டத்தின் மையமானது வெளிமையம் (அல்லது வெளிவட்டமையம்) என அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உட்கோண இருசமவெட்டிகளும் உள்மையத்தில் வெட்டிக்கொள்ளும். ஒரு உட்கோண இருசமவெட்டியும் மற்ற இரு வெளிக்கோண இருசமவெட்டிகளும் முக்கோணத்தின் வெளிமையத்தில் வெட்டிக்கொள்ளும். ஒரு கோணத்தின் உட்கோண இருசமவெட்டிக்கும் வெளிக்கோண இருசமவெட்டிக்கும் இடையேயுள்ள கோணம் செங்கோணம் என்பதால், முக்கோணத்தின் உள்வட்டமையமானது மற்ற மூன்று வெளிவட்டமையங்களுடன் சேர்ந்து ஒரு செங்குத்துச்சந்தித் தொகுதியை அமைக்கும்.

முக்கோணத்தின் பரப்புடனுள்ள தொடர்பு

உள் மற்றும் வெளிவட்டங்களின் ஆரங்கள், முக்கோணத்தின் பரப்புடன் தொடர்புடையன.

முக்கோணத்தின் பரப்பு - A,

முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் - a, b மற்றும் c.

ஈரோனின் வாய்பாடு:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{area}}=A&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {(P)(a-b+c)(b-c+a)(c-a+b)}}\\&{}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}$

இங்கு

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}},}$ முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு.

${\displaystyle P=2s,}$ முக்கோணத்தின் சுற்றளவு.

உள்வட்டத்தின் ஆரம் (உள் ஆரம்) :

${\displaystyle r={\frac {2A}{P}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}$

ஃ ${\displaystyle A=rs.}$

பக்கம் a -ல் வரையப்பட்ட வெளிவட்டத்தின் ஆரம் (வெளிஆரம்):

${\displaystyle r_{a}={\frac {2A}{c-a+b}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.}$

இதேபோல் மற்ற இரு பக்கங்கள் b, c -ல் வரையப்பட்ட வெளிவட்டங்களின் ஆரங்கள் முறையே:

${\displaystyle r_{b}={\frac {2A}{a-b+c}}={\sqrt {\frac {s(s-a)(s-c)}{s-b}}}}$;

${\displaystyle r_{c}={\frac {2A}{b-c+a}}={\sqrt {\frac {s(s-a)(s-b)}{s-c}}}.}$

இந்த வாய்ப்பாடுகளிலிருந்து:

• எப்பொழுதும் வெளிவட்டங்கள், உள்வட்டத்தைவிட பெரியவை,
• முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கத்திற்கு வரையப்படும் வெளிவட்டம் மிகப்பெரிய வெளிவட்டமாகவும்,
• முக்கோணத்தின் மிகச்சிறிய பக்கத்திற்கு வரையப்படும் வெளிவட்டம் மிகச்சிறிய வெளிவட்டமாகவும் இருக்கும் என்பதைக் காணலாம்.
• மேலும் இவ்வாய்ப்பாடுகளை ஈரோனின் வாய்பாட்டுடன் சேர்க்கக் கிடைப்பது:^[1]:#4

${\displaystyle A={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

ஒன்பது-புள்ளி வட்டமும் ஃபோயர்பாக் புள்ளியும்

உள்வட்டம் மற்றும் மூன்று வெளிவட்டங்களுக்கும் தொடுவட்டமாக அமையும் வட்டமானது ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் எனப்படுகிறது. இந்த ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் உள்வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி, ஃபோயர்பாக் புள்ளி(Feuerbach point) எனப்படுகிறது.

கெர்கோன் முக்கோணமும் புள்ளியும்

ΔABC-ன் உள்வட்டம் (நீலம்), உள்வட்டமையம் (நீலம்-I ), கெர்கோனின் தொடுமுக்கோணம் (சிவப்பு- ΔT_aT_bT_c) மற்றும் கெர்கோன் புள்ளி (பச்சை-Ge)

${\displaystyle \triangle ABC}$ -ன் மூன்று பக்கங்களையும் உள்வட்டமானது தொடும்புள்ளிகளை இணைக்கக் கிடைப்பது கெர்கோன் முக்கோணமாகும். கெர்கோன் முக்கோணத்தின் உச்சிகள் T_A, T_B மற்றும் T_C எனக் குறியிடப்படுகின்றன. இம்மூன்றும் ${\displaystyle \triangle ABC}$ -ன் பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடுகின்ற புள்ளிகள். அதாவது,

T_A , உச்சி A -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி;

T_B , உச்சி B -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி

T_C , உச்சி C -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி

${\displaystyle \triangle }$T_AT_BT_C - தொடு முக்கோணம் அல்லது உட்தொடு முக்கோணம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ${\displaystyle \triangle ABC}$-ன் உள்வட்டமானது ${\displaystyle \triangle }$T_AT_BT_C -ன் சுற்றுவட்டமாகும்.

AT_A, BT_B மற்றும் CT_C ஆகிய மூன்று கோடுகளும் வெட்டுக்கொள்ளும் புள்ளியானது, ${\displaystyle \triangle ABC}$-ன் கெர்கோன் புள்ளி Ge – X(7) எனப்படும்.^[2]

${\displaystyle \triangle ABC}$ -ன் பக்கங்கள் ${\displaystyle \ BC,}$ ${\displaystyle \ CA,}$ ${\displaystyle \ AB,}$ -க்கு வரையப்பட்ட வெளிவட்டங்களின் தொடு புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம், வெளித்தொடு முக்கோணம் ஆகும். ${\displaystyle \triangle ABC}$ -ன் உட்கோண இருசமவெட்டிகளானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களை வெட்டும் புள்ளிகளால் உருவாகும் முக்கோணம், உள்மைய முக்கோணம் (incentral triangle) எனப்படும்.

நாகெல் முக்கோணமும் புள்ளியும்

முக்கோணத்தின் (கருப்பு) நாகெல் புள்ளி (நீலம்-N), வெளித்தொடு வட்டம் (சிவப்பு). வெளிவட்டங்கள் (ஆரஞ்சு)

${\displaystyle \triangle ABC}$ -ன் பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் மூன்று வெளிவட்டங்களின் தொடு புள்ளிகள் உருவாக்கும் முக்கோணம் வெளித்தொடு முக்கோணம் ஆகும். இது நாகெல் முக்கோணம்(Nagel triangle) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. இதன் உச்சிகள், X_A, X_B மற்றும் X_C.

X_A , உச்சி A -ன் எதிர்பக்கத்தின் தொடுபுள்ளி; X_B , உச்சி B -ன் எதிர்பக்கத்தின் தொடுபுள்ளி; X_C , உச்சி C -ன் எதிர்பக்கத்தின் தொடுபுள்ளி.

${\displaystyle \triangle }$ X_AX_BX_C , ${\displaystyle \triangle ABC}$-ன் வெளித்தொடு முக்கோணம். இதன் சுற்றுவட்டம் மாண்டர்ட் வட்டம்(Mandart circle) எனப்படுகிறது.

AX_A, BX_B மற்றும் CX_C ஆகிய மூன்று கோடுகளும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி, ${\displaystyle \triangle ABC}$-ன் நாகெல் புள்ளி Na – X(8) எனப்படும்.

ஆட்கூறுகள்

தொடர்புடைய புள்ளிகளின் முந்நேரியல் ஆட்கூறுகள் (Trilinear coordinates) கீழே தரப்பட்டுள்ளன:

• உள்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகள்

${\displaystyle A-{\text{vertex}}=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$

${\displaystyle B-{\text{vertex}}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$

${\displaystyle C-{\text{vertex}}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$

• வெளித்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகள்

${\displaystyle A-{\text{vertex}}=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$

${\displaystyle B-{\text{vertex}}=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$

${\displaystyle C-{\text{vertex}}=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$

• உள்மைய முக்கோணத்தின் உச்சிகள்

${\displaystyle \ A-{\text{vertex}}=0:1:1}$

${\displaystyle \ B-{\text{vertex}}=1:0:1}$

${\displaystyle \ C-{\text{vertex}}=1:1:0}$

• வெளிமைய முக்கோணத்தின் உச்சிகள்

${\displaystyle \ A-{\text{vertex}}=-1:1:1}$

${\displaystyle \ B-{\text{vertex}}=1:-1:1}$

${\displaystyle \ C-{\text{vertex}}=1:-1:-1}$

• கெர்கோன் புள்ளி

${\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$,

(அல்லது சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி)

${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}}$.

• நாகெல் புள்ளி

${\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$,

(அல்லது சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி)

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$.

நாகெல் புள்ளியானது கெர்கோன் புள்ளியின் ஐசோட்டாமிக் இணையியம் ஆகும்.

உள்வட்ட மையத்தின் ஆயதொலைவுகள்

உள்வட்ட மையத்தின் கார்ட்டீசியன் ஆயதொலைவுகளானது, முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் ஆயதொலைவுகளின் எடையிடப்பட்ட சராசரியாகும். இதில் பயன்படுத்தப்படும் எடைகள் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களாகும். (எடைகளாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும் பக்க நீளங்கள் நேர்ம எண்களாகையால் உள்வட்ட மையம் முக்கோணத்துக்குள் அமையும்.)

முக்கோணத்தின் உச்சிகள்: ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$, ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$ மற்றும் ${\displaystyle (x_{c},y_{c});}$

இவற்றுக்கு எதிர் பக்கங்களின் நீளங்கள் முறையே: ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, மற்றும் ${\displaystyle c.}$

உள்வட்ட மையத்தின் ஆயதொலைவுகள்:

• கார்ட்டீசியன் ஆயதொலைவுகள்:

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{P}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{P}}{\bigg )}={\frac {a(x_{a},y_{a})+b(x_{b},y_{b})+c(x_{c},y_{c})}{P}}}$

இங்கு, ${\displaystyle \ P=a+b+c.}$

• முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள்:

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

• பொருள்-நிறைமைய(Barycentric) ஆயதொலைவுகள்:

${\displaystyle \ a:b:c.}$

நான்கு வட்டங்களின் சமன்பாடுகள்

முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில், x : y : z என்பது மாறக்கூடிய ஒரு புள்ளி என்க. மேலும், u = cos²(A/2), v = cos²(B/2), w = cos²(C/2).

• உள்வட்டச் சமன்பாடு:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0}$

• முக்கோண உச்சி A =வெளிவட்டச் சமன்பாடு:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0}$

• முக்கோண உச்சி B- வெளிவட்டச் சமன்பாடு:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0}$

• முக்கோண உச்சி C -வெளிவட்டச் சமன்பாடு:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0}$

உள்வட்டத்தின் பிற பண்புகள்

• உள்வட்டத்தின் தொடு புள்ளிகள், முக்கோணத்தின் பக்கங்களை [ x , y] , [y , z] , மற்றும் [z , x] என்ற நீளங்களாகப் பிரித்தால்:^[3]

${\displaystyle r^{2}={\frac {xyz}{x+y+z}}}$

இங்கு r உள்வட்ட ஆரமாகும்.

• முக்கோணத்தின் a, b, மற்றும் c நீளங்கள் கொண்ட பக்கங்களிலிருந்து, குத்துக்கோடுகளின் நீளங்கள்: h_a, h_b, and h_c மற்றும் உள்வட்ட மையம் r எனில்:

${\displaystyle r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.}$

• உள்வட்ட ஆரமானது சுற்றுவட்ட ஆரத்தில் பாதிக்கும் அதிகமாக இருக்காது.(ஆயிலரின் முக்கோண சமனின்மை)^[4]
• உள்வட்ட மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்:

${\displaystyle {\sqrt {R(R-2r)}},}$

இங்கு r -உள்வட்ட ஆரம்; R -சுற்றுவட்ட ஆரம்.^[4]

• a, b, and c பக்க நீளங்கள் கொண்ட முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம் மற்றும் சுற்றுவட்ட ஆரத்தின் பெருக்கற்பலன்:^[5]

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

• ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பையும் சுற்றளவையும் பாதியாகப் பிரிக்கும் எந்தவொரு கோடும் அம்முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்தின் வழியே செல்லும்.^[6]