கப்ரேக்கர் எண்

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் அடிமானத்தில் அமைந்த ஒரு எதிரிலா முழு எண்ணின் வர்க்கத்தின் உருவகிப்பை இரு பாகங்களாகப் பிரித்துக் கூட்டக் கிடைப்பது அந்த மூல எண்ணாக இருந்தால், அந்த எதிரிலா முழுஎண் கப்ரேக்கர் எண் (Kaprekar number) ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக 45 ஒரு கப்ரேக்கர் எண். ஏனெனில் 45² = 2025; 20+25 = 45. கப்ரேக்கரால் கண்டறியப்பட்ட இவ்வெண்கள், அவரது பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன.

வரையறை

X ஒரு எதிரிலா முழுஎண் X. அடிமானம் b இல் X ஒரு கப்ரேக்கர் எண்ணாக இருப்பதற்குக் கீழுள்ள முடிவை நிறைவு செய்யும்வகையில் எதிரிலா முழுஎண்கள் n, A மற்று ஒரு நேரெண் B இருக்கவேண்டும்:

X² = Abⁿ + B, 0 < B < bⁿ

X = A + B

குறிப்பிட்ட n இன் மதிப்பிற்கு, bⁿ அடிமானத்திலும் X ஒரு கப்ரேக்கர் எண்ணாக இருக்கும்.^[1]

இரண்டடிமானத்தில் அனைத்து இரட்டை நிறைவெண்களும் கப்ரேக்கர் எண்களாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• பத்தடிமானத்தில், 297 ஒரு கப்ரேக்கர் எண்.

297² = 88209, 88 + 209 = 297.

கப்ரேக்கரின் எண்ணின் வர்க்கத்தின் உருவகிப்பை இரு பாகங்களாகப் பிரிக்கும்போது இரண்டாவது பாக எண் 0 இல் தொடங்கலாம், ஆனால் பூச்சியமற்ற மதிப்புடையதாக இருக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக,

பத்தடிமானத்தில் 999 ஒரு கப்ரேக்கர் எண். ஏனென்றால்,

999² = 998001, 998 + 001 = 999. இதன் இரண்டாவது பாகமான 001, பூச்சியத்தில் தொடங்கினாலும் அதன் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லை.

மாறாக 100 ஒரு கப்ரேக்கர் எண் அல்ல.

100² = 10000, 100 + 00 = 100 ஆக இருந்தாலும்,10000 ஐ இரு பாகங்களாகப் பிரித்தபோது, இரண்டாவது பாகம் பூச்சியத்தில் தொடங்குகிறது. மேலும் அதன் மதிப்பும் பூச்சியமாக உள்ளது.

பத்தடிமானத்தில் உள்ள முதல் கப்ரேக்கர் எண்கள் சில:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, ... (OEIS-இல் வரிசை A006886)

9, 99, 999… அனைத்தும் கப்ரேக்கர் எண்களாகும். பொதுவாக ஏதேனுமொரு அடிமானம் b இல், bⁿ - 1 வடிவிலமைந்த எண்ணற்ற கப்ரேக்கர் எண்கள் இருக்கும்.