வர்க்கம் (கணிதம்)

வர்க்க எண் அல்லது சதுர எண் (square number) என்பது ஒரு முழு எண்ணின் வர்க்கமாகும். ஒரு முழு எண்ணின் வர்க்கம் என்பது அம்முழு எண்ணை அவ்வெண்ணாலேயே பெருக்கக் ல

எடுத்துக்காட்டாக 9 ஒரு வர்க்க எண். ஏனென்றால் எண் ஒன்பதை 3 × 3 என எழுதலாம். அதாவது 3 -ன் வர்க்கம் 9.

ஒரு முழு எண்ணின் வர்க்கமும் ஓர் முழு எண்ணாகவே அமையும். ஒரு வர்க்க எண்ணானது, செவ்விய வர்க்கம் (perfect square) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.^[1]

வர்க்க எண்கள் நேர்ம எண்களாகவே இருக்கும். ஒரு நேர்ம எண் வர்க்க எண்ணாக இருக்க வேண்டுமானால் அதன் வர்க்கமூலம் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கவேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக √9 = 3, என்பதால் 9 ஒரு வர்க்க எண்.

எண் 1, முதல் முழு வர்க்கமாகக் கருதப்படுகிறது. எண் 0 -ஐ (0 × 0 = 0) என்று எழுத முடியும் என்பதால் எண் 0 மும் வர்க்க எண் தான் என வாதிடுவோரும் உண்டு.

வர்க்கத்தை வழக்கமாக பெருக்கல் வடிவில் எழுதுவதில்லை. மாறாக n என்ற எண்ணின் வர்க்கம் n² என எழுதப்படுகிறது. இதனை "n ஸ்கொயர்ட்" என வாசிக்க வேண்டும். n அளவு பக்கமுடைய ஒரு சதுரத்தின் பரப்பு n × n . அதாவது n². எனவேதான் முழு வர்க்க எண்கள், சதுர எண்கள் என அழைக்கப்பட்டு வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகின்றன.

வர்க்கம் என்ற கருத்துருவைப் பிற எண் கணங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். விகிதமுறு எண்களை எடுத்துக்கொண்டால், ஒரு விகிதமுறு வர்க்க எண் என்பது இரு வர்க்க எண்களின் விகிதமாகும். மறுதலையாக, இரு வர்க்க எண்களின் விகிதம் ஒரு விகிதமுறு வர்க்க எண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டு: 4/9 = (2/3)²).

எடுத்துக்காட்டுகள்

60² -க்கும் கீழுள்ள வர்க்க எண்கள் (OEIS-இல் வரிசை A000290) :

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

51² = 2601

52² = 2704

53² = 2809

54² = 2916

55² = 3025

56² = 3136

57² = 3249

58² = 3364

59² = 3481

பண்புகள்

• m புள்ளிகளை ஒரு சதுரமாக அடுக்க முடிந்தால், முடிந்தால் மட்டுமே எண் m ஒரு வர்க்க எண்ணாகும்:

m = 12 = 1
m = 22 = 4
m = 32 = 9
m = 42 = 16
m = 52 = 25

இங்கு n -ஆம் வர்க்க எண் n². இது முதல் n ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம். இக்கூற்றைப் படத்தில் காணலாம். படத்தில் ஒவ்வொரு சதுரமும் அதற்கு முந்தைய சதுரத்துடன் ஒற்றை எண்ணிக்கைப் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதால் உண்டாவதையும் காணலாம்.

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$

எடுத்துக்காட்டு:

5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

• ஒரு வர்க்க எண்ணிற்கும் அதற்கு முந்தைய வர்க்க எண்ணிற்குமுள்ள தொடர்பு:

${\displaystyle n^{2}=(n-1)^{2}+(2n-1)\,}$.

அல்லது:

${\displaystyle n^{2}=(n-1)^{2}+(n-1)+n\,}$.

மற்றொரு வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2\,}$.

எடுத்துக்காட்டு:

2 × 5² − 4² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

• ஒரு வர்க்க எண் அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
• அடுத்தடுத்த இரு வர்க்க எண்களின் கூடுதல் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்.
• ஒவ்வொரு ஒற்றை வர்க்க எண்ணும் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்ணாகவும் இருக்கும்
• ஒரு வர்க்க எண்ணின் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றை யெண்ணாக இருக்கும். பிற எண்களின் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை இரட்டை யெண்ணாக இருக்கும்.
• பத்தடிமானத்தில், ஒரு வர்க்க எண் 0,1,4,6,9, அல்லது 25 ஆகிய இலக்கங்களைக் கொண்டு பின்வருமாறு முடிவடையும்:
  • 0 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், இரட்டை எண்ணிக்கை கொண்ட 0 -க்களைக் கொண்டு முடிவடையும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 0-க்களுக்கு முந்தைய இலக்கங்கள் ஒரு முழு வர்க்க எண்ணைத் தரும்.

10² = 100; 20² = 400;....

• • 1 அல்லது 9 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 1-ஐக் கொண்டு முடிவடையும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 1-க்கு முந்தைய இலக்கங்கள் குறிக்கும் எண் நான்கால் வகுபடும்.

11² = 121; 21²= 441;......

9²=81; 29² = 841;.....

• • 2 அல்லது 8 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 4 -ஐக் கொண்டு முடியும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 4-க்கு முந்தைய இலக்கம் இரட்டை எண்ணாக இருக்கும்.

12² = 14; 22² = 484;....

8²=64; 18²=324;....

• • 3 அல்லது 7 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 9 -ஐக் கொண்டு முடியும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 9-க்கு முந்தைய இலக்கங்கள் குறிக்கும் எண் நான்கால் வகுபடும்.

3²=9; 13²=169;....

7²=49; 17²=289;....

• • 4 அல்லது 6 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 6 -ஐக் கொண்டு முடியும்.மேலும் கடைசியில் உள்ள 6-க்கு முந்தைய இலக்கம் ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்.

4²=16; 14²=196; 24²=576;....

6²=36; 16²=256; 26²=676....

• • 5 -ஐக் கொண்டு முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 25 -ஐக் கொண்டு முடியும்.மேலும் கடைசியில் உள்ள 25-க்கு முந்தைய இலக்கங்கம் 0, 2, 6, 25 -ஆக இருக்கும்.

5²=25; 25²=625; 35²=1225;.....

• பொதுவாக ஒரு பகா எண் p , வர்க்க எண் m -ஐ வகுக்குமானால் p² -ம் m -ஐ வகுக்கும்.
• வர்க்க எண் ஒரு செவ்விய எண் அல்ல.
• வர்க்க எண்களின் கூடுதல் காணும் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}}$

${\displaystyle {\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}$ -தொடரின் உறுப்புகள் (வர்க்கப் பிரமிடு எண்கள்):

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201... (OEIS-இல் வரிசை A000330) .

சிறப்பு வகைகள்

• m5 வடிவில் உள்ள எண்ணின் வர்க்கத்தின் வடிவம் n25 இதில் n = m × (m + 1)

65² = 4225

m = 6; n = 6 × (6 + 1) = 42

• m0 வடிவில் உள்ள எண்ணின் வர்க்கத்தின் வடிவம் n00 இதில் n = m².

70² = 4900. m = 7; n = 7² = 49

• ஈரிலக்க 5m (m -ஒன்றினிடம்) வடிவில் உள்ள எண்ணின் வர்க்கத்தின் வடிவம் AABB இதில் AA = 25 + m மற்றும் BB = m².

57²=3249.

AA = 25+7 =32 மற்றும் 7²=49,

ஒற்றை மற்றும் இரட்டை எண்கள்

இரட்டை எண்களின் வர்க்கங்கள் இரட்டை எண்களாகும். அவை நான்கால் வகுபடும் எண்களாகவும் இருக்கும்.

${\displaystyle (2n)^{2}=4n^{2}\,}$

ஒற்றையெண்களின் வர்க்கங்கள் ஒற்றையெண்கள்.

${\displaystyle (2n+1)^{2}=4(n^{2}+n)+1\,}$

இதிலிருந்து இரட்டை எண்களின் வர்க்க மூலங்கள் இரட்டை எண்களாகவும் ஒற்றை எண்களின் வர்க்க மூலங்கள் ஒற்றை எண்களாகவும் இருக்கும் என்பதை அறியலாம்.

பயன்பாடு

இரு நேர்ம மெய்யெண்களின் பெருக்குத்தொகை ஒரு நேர்ம மெய்யெண்ணாகவும் இரு எதிர்ம மெய்யெண்களின் பெருக்குத்தொகையும் ஒரு நேர்ம மெய்யெண்ணாகவும் இருக்கும் என்பதால் எந்தவொரு வர்க்க எண்ணும் எதிர்ம எண்ணாக இருக்க முடியாது. எனவே மெய்யெண்களின் கணத்தில் ஒரு எதிர்ம மெய்யெண்ணின் வர்க்க மூலத்தைக் காணமுடியாது. இதனால் மெய்யெண்கள் கணத்தில் ஒரு பற்றாக்குறை ஏற்பட்டு கணிதவியலாளர்கள் கற்பனை மூலம் i -ஐ  −1 -ன் வர்க்க மூலங்களில் ஒன்றாக எடுத்துக் கொண்டு கலப்பெண்களை உருவாக்கினர்.

புள்ளியியலில் ஒரு தரவின் திட்ட விலக்கம் காண்பதற்கு வர்க்கம் (வர்க்க மூலம்) பயன்படுகிறது