குலமன் (இயற்கணிதம்)

நுண்புல இயற்கணிதத்தில், குலமன் (groupoid) என்பது இயற்கணித அமைப்புகளில் ஒரு அடிப்படை வகையாகும். இது மேக்மா (magma) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு கணமும் அதில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியும் சேர்ந்தது ஒரு குலமன் ஆகும்.

${\displaystyle M\times M\rightarrow M}$ என்ற ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியுடன் கூடிய கணம் ${\displaystyle M}$ ஒரு குலமன். ஈருறுப்புச் செயலியானது அதன் வரையறைப்படி அடைவுப் பண்புடையது. குலமனில் வேறு எந்தவொரு அடிக்கோளையும் ஈருறுப்புச் செயலி நிறைவு செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை.

பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் நிக்கோலசு பொர்பாக்கி, இந்த இயற்கணித அமைப்புக்கு மேக்மா என்று பெயரிட்டார். இதனை நார்வீஜிய கணிதவியலாளர் ஊய்சுடீன் ஓர், குரூப்பாய்ட் என அழைத்தார். குரூப்பாய்ட் என்ற பெயர் பழமையானது என்றாலும் மேக்மாவுக்கு மாற்றுப்பெயராக இன்னமும் வழக்கத்தில் உள்ளது.

வரையறை

"${\displaystyle \cdot }$"என்ற ஈருறுப்புச் செயலியுடன் சேர்த்து ஒரு கணம் ${\displaystyle M}$ குலமன் என அழைக்கப்படும். இந்த ஈருறுப்புச்செயல், ${\displaystyle M}$ கணத்தின் a,b என்ற எவையேனும் இரு உறுப்புகளை ${\displaystyle a\cdot b}$என்ற உறுப்பாக மாற்றுகிறது. "${\displaystyle \cdot }$" என்ற குறியீடு ஒரு பொதுவான இடந்தாங்கிதான். முறையாக வரையறுக்கப்பட்ட எந்த ஒரு ஈருறுப்புச் செயலிக்கும் இந்த இடந்தாங்கி பொருந்தும்.

${\displaystyle (M,\cdot )}$ குலமனாவதற்குக் கீழ்க்காணும் நிபந்தனையைப் (குலமன் அடிக்கோள்) பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்.

கணம் ${\displaystyle M}$ ல் உள்ள அனைத்து ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ என்ற உறுப்புகளுக்கும், ${\displaystyle a\cdot b}$ ன் மதிப்பு, ${\displaystyle M}$ இல் இருக்க வேண்டும்.

${\displaystyle \forall a,b\in M,a\cdot b\in M}$

வகைகள்

• பகுதி குலங்கள் (quasigroups)

வகுத்தல் செயல் சாத்தியமான வெற்றில்லா குலமன்கள்;

• கண்ணிகள் (loops)

முற்றொருமை உறுப்புகள் கொண்ட பகுதி குலங்கள்

• அரைக்குலங்கள்

சேர்ப்புப் பண்புடைய ஈருறுப்புச் செயலியைக் கொண்ட குலமன்கள்;

• ஒற்றைக்குலங்கள்

முற்றொருமை உறுப்புகளைக் கொண்ட அரைக்குலங்கள்;

• குலங்கள்

நேர்மாறு உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒற்றைக்குலங்கள் அல்லது சேர்ப்புக் கண்ணிகள் அல்லது சேர்ப்புப் பகுதி குலங்கள்;

• ஏபெல் குலம்

பரிமாற்றுப் பண்புடைய ஈருறுப்புச் செயலியைக் கொண்ட குலங்கள்.

வகுத்தல் மற்றும் நேர்மாறுப் பண்பு இரண்டும்

நீக்கல் விதிகளைத் தருவதைக் காணலாம்.