சமவளவை உருமாற்றம்

கணிதத்தில் சம அளவை உருமாற்றம் (isometry) என்பது மெட்ரிக் வெளிகளுக்கு இடையேயான தூரம் மாறாமல் பாதுகாக்கும் கோப்பாகும்.

இரு யூக்ளிடிய நேரற்ற சம அளவை உருமாற்றங்களின் தொகுப்பு ஒரு நேர் சம அளவை உருமாற்றமாகும். ஒரு கோட்டில் நிகழும் எதிரொளிப்பு நேரற்ற சம அளவை உருமாற்றமாகவும் பெயர்ச்சி ஒரு நேர் சம அளவை உருமாற்றமாகவும் உள்ளன. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள எதிரொளிப்புகள் R ₁, R ₂ இரண்டின் இணைந்த விளைவு பெயர்ச்சி T இன் விளைவுக்குச் சமமானதாக இருப்பதைக் காணலாம்.

ஒரு மெட்ரிக் வெளியிலுள்ள உறுப்புகளை அதே அல்லது வேறொரு மெட்ரிக் வெளிக்கு, மூல உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள தூரங்களும் ஒத்த எதிருரு உறுப்புகளுக்கிடையே உள்ள தூரங்களும் மாறாமல் இருக்குமாறு தொடர்புபடுத்தும் ஒரு வடிவவியல் உருமாற்றம் ஆகும். இரண்டு மற்றும் முப்பரிமாண யூக்ளிடிய தளங்களில் அமைந்த இரு வடிவங்கள் ஒரு சம அளவை உருமாற்றத்தால் தொடர்புபடுத்தப்பட்டிருந்தால் அவ்வடிவங்கள் இரண்டும் சர்வசமமானவை. அவை ஒரு திட இயக்கத்தாலோ (பெயர்ச்சி அல்லது சுழற்சி) ஒரு திட இயக்கம் மற்றும் எதிரொளிப்பு இரண்டின் தொகுப்பாலோ தொடர்புபடுத்தப்பட்டிருக்கலாம்.

வரையறை

X , Y ஆகிய இரு மெட்ரிக் வெளிகளின் மெட்ரிக்குகள் முறையே d_X , d_Y. கோப்பு ƒ : X → Y ஒரு சம அளவை உருமாற்றம் எனில்:

${\displaystyle d_{Y}\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b),}$ a,b ∈ X

சம அளவை உருமாற்றம் ஒரு உள்ளிடுகோப்பாகும்.

ஒரு முழுமையான சம அளவை உருமாற்றம் (global isometry, isometric isomorphism congruence mapping)என்பது இருவழி சம அளவை உருமாற்றம் ஆகும். X என்ற மெட்ரிக் வெளியிலிருந்து , Y எனும் மெட்ரிக் வெளிக்கு ஒரு இருவழி சம அளவை உருமாற்றம் இருந்தால், அவ்விரு மெட்ரிக் வெளிகளும் "சமஅளவை வெளிகள்" (isometric) எனப்படும். ஒரு மெட்ரிக் வெளியிலிருந்து அதே மெட்ரிக் வெளிக்கு அமையும் இருவழி சம அளவை உருமாற்றங்களின் கணம் அனைத்தும் சார்புகளின் தொகுப்பு செயலைப் பொறுத்து ஒரு குலமாக இருக்கும். அக்குலம் சமஅளவைக் குலம் என அழைக்கப்படும்.