முக்கோண எண்

வடிவவியலில் முக்கோண எண் (triangular number) என்பது வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில் உள்ளவாறு, ஒரு முக்கோண எண் என்பது ஒரு சமபக்க முக்கோண வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தத்தக்க ஒரு எண்ணாகும். (மரபின்படி, முதலாவது முக்கோண எண் 1 ஆகும்.) n -ஆம் முக்கோண எண் என்பது ஒரு பக்கத்திற்கு n புள்ளிகளெனக் கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்துக்குள் அமையும் மொத்தப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகும். ஒவ்வொரு வரிசையும் அதற்கு முன்னுள்ள வரிசையைக்காட்டிலும் ஒரு அலகு கூடுதலாக உள்ளது. இதன் மூலம் முதல் முக்கோண எண் 1; இரண்டாம் முக்கோண எண் 1+ 2 = 3; மூன்றாம் முக்கோண எண் 1 + 2 + 3 = 6;.... என இயல் எண் களின் கூட்டுத்தொகையாக ஒவ்வொரு முக்கோண எண்ணும் அமைவதைக் காணலாம். n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும்.

முதல் ஆறு முக்கோண எண்கள்.

முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசை (OEIS-இல் வரிசை A000217) :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,.....

வாய்பாடு

• n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம் என்பதால் முக்கோண எண்களுக்கான மீள்வரு வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2}}$

இவ்வாய்பாட்டை காட்சி நிறுவல் மூலம் விளக்கலாம்.^[1]வலது இறுதியில் உள்ளது ஒரு ஈருறுப்புக் கெழு. இக்கெழு, n + 1 பொருள்களில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கக்கூடிய சோடிகளின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. பெருக்கலில் உள்ள தொடர் பெருக்கத்தைப் போன்றவை கூட்டலுக்கு முக்கோண எண்கள். தொடர் பெருக்கம் n !, 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் பெருக்கலுக்குச் சமம். முக்கோண எண் ${\displaystyle T_{n},}$ 1 முதல் n வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

• ஒவ்வொரு புள்ளியையும் இணைத்து வரையக் கூடிய கோடுகளின் எண்ணிக்கையைப் பின்வரும் வாய்ப்பாடு மூலம் காணலாம்:

${\displaystyle L_{n}=L_{n-1}+3(n-1)}$

புள்ளிகள் மற்றும் இக்கோடுகளின் எண்ணிக்கைகளுக்கு இடையிலான விகிதத்தின் குறிப்பிடத்தக்கதொரு பண்பு:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}}$

ஒவ்வொரு முக்கோண எண் ${\displaystyle T_{n}}$ க்கும், அதற்குச் சமமான என்ணிக்கையிலான பொருட்களை கீழேயுள்ள படத்திலுள்ளதுபோல ஒரு அரைச்-செவ்வக வடிவில் அமைப்பதாகக் கொள்ளலாம். இதே அமைப்பின் படிமத்தைச் சுழற்றி முழுச் செவ்வகமாக உருவாக்கினால் அதிலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கை இரட்டிப்பாவதோடு அச்செவ்வகத்தின் அளவானது ${\displaystyle n\times (n+1)}$ ஆக இருக்கும். மேலும் ${\displaystyle n\times (n+1)}$ இன் மதிப்பு செவ்வகத்திலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகவும் இருக்கும். எனவே:

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$ (பச்சையும் மஞ்சளும்)

${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$ (பச்சை)

இவ்வாய்பாட்டை கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவமுடியும்.^[2]

${\displaystyle n=1}$ எனில், இவ்வாய்பாடு உண்மையாவதை எளிதாகக் காணலாம்:

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

${\displaystyle m}$ என்ற இயலெண்ணுக்கு இவ்வாய்ப்பாடு மெய் என எடுத்துக்கொள்ள:

${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$.

இருபுறமும் ${\displaystyle m+1}$ ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

அதாவது, வாய்பாடு ${\displaystyle m}$ என்ற மதிப்பிற்கு உண்மையாக இருக்கும்போது அது ${\displaystyle m+1}$ மதிப்பிற்கும் உண்மையாகிறது.

எனவே, கணிதத்தொகுத்தறிதலின்படி வாய்பாடு அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.

வரலாறு

செருமானிய கணிதவியலாளர் கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ், அவரது இளமைக்காலத்தில் இதனைக் கண்டறிந்ததாகக் கூறப்படுகிறது.^[3] எனினும் இதனை முதன்முதலாகக் கண்டறிந்தவர் காஸ் அல்ல. கிமு 5 ஆம் நூற்றாண்டிலேயே இது அறியப்பட்டிருந்தது என்ற கருத்தும் உள்ளது^[4] 816 இல், அயர்லாந்தைச் சேர்ந்த துறவி திக்குய்ல் என்பவரும் அவரது இயேசுவின் உயிர்த்தெழுதல் நாட்கணிப்பில் இதனைக் குறிப்பிட்டுள்ளார்.^[5] திக்குய்லின் குறிப்புகளுக்கான ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பும் உள்ளது.^[6]

கைகுலுக்கல் சிக்கல்

"கைகுலுக்கல் சிக்கலுக்கான" தீர்வை முக்கோண எண் T_n தருகிறது. n + 1 நபர்கள் உள்ள ஓர் அறையில் ஒருவர் மற்ற ஒவ்வொருவருடனும் கைகுலுக்கினால் நிகழும் மொத்த கைகுலுக்கல்களின் எண்ணிக்கையை முக்கோண் எண் T_n அளிக்கிறது In other words, the solution to the handshake problem of n நபர்களின் கைகுலுக்கல் கணக்குக்கான விடை T_n−1 ஆகும்.^[7]

தொடர்கூட்டல் சார்பு

அமெரிக்கக் கணினி அறிவியலாளரான டோனால்டு நத், தனது நூலில் n முழுஎண்களின் தொடர்பெருக்கத்துடன் ஒத்தவொன்றாக "தொடர்கூட்டல் சார்பு" ("Termial function") என்பதை உருவாக்கினார். ^[8] இத்தொடர்கூட்டலின் குறியீடு n? .இது முக்கோண எண் T_n க்குச் சமம்.

தொடர் பெருக்கம்:

n! = 1.2.3....n

தொடர் கூட்டல்:

$${\displaystyle n?=1+2+3+4+5+...+n={\frac {n(n+1)}{2}}=T_{n}}$$

எடுத்துக்காட்டாக:

$${\displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55=T_{(}10)}$$

ஏனைய வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு

முக்கோண எண்கள் மற்ற வடிவ எண்களோடு அதிகத் தொடர்புடையன.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ஒரு வர்க்க எண் (சதுர எண்). இக்கூடுதலின் மதிப்பு, இந்த இரு முக்கோண எண்களின் வித்தியாசத்தின் வர்க்கமாகும்.

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

மேலேயுள்ள ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டிலும், இரண்டு பொருந்துகின்ற முக்கோணங்களிலிருந்து ஒரு சதுரம் அமைவதைக் காணலாம்.

• எண்ணற்ற முக்கோண எண்கள் வர்க்க எண்களாகவும் அமைகின்றன. அவற்றுள் சிலவற்றை பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right).}$ இதில், ${\displaystyle S_{1}=1.}$

அனைத்து வர்க்க முக்கோண எண்களையும் பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.

${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2.}$

இதில் ${\displaystyle S_{0}=0}$ மற்றும் ${\displaystyle S_{1}=1.}$

• n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம் 1 முதல் n வரையிலான முழு எண்களின் கனங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

${\displaystyle T_{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dotsb +n^{3}=({\frac {n(n+1)}{2}})^{2}}$

• 1 முதல் n வரையிலான முக்கோண எண்களின் கூடுதல் n ஆம் நான்முக எண்ணாகும்.

${\displaystyle T_{1}+T_{2}+T_{3}+....+T_{n}={\frac {(n)(n+1)(n+2)}{6}}.}$

• பொதுவாக, n -ஆம் m -பலகோண எண் மற்றும் n -ஆம் (m + 1)-பலகோண எண்ணிற்குமுள்ள வித்தியாசம் (n – 1) -ஆம் முக்கோண எண்ணாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு:

ஆறாம் எழுகோண எண் = 81. ஆறாம் அறுகோண எண் = 66

இவற்றின் வித்தியாசம் = 81 – 66 = 15. இது ஐந்தாம் முக்கோண எண்ணாகும். முக்கோண எண்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்ணையும் காணமுடியும்.

n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்ணைக் காணும் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1.\ }$

இங்கு ${\displaystyle T_{(}n-1)}$ -முக்கோண எண்;

${\displaystyle Ck_{n}}$ -n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்.

இரு முக்கோண எண்களின் நேர்ம வித்தியாசம் ஒரு சரிவக எண்.