வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்

கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, பரிமாற்றலற்ற குலங்களில், இணை இயத்தல் (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை ஒற்றுமை வகுப்பு (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.

இணையியம்

G ஒரு குலம் என்று கொள்க. ${\displaystyle b\in G,a\in G}$ இனுடைய இணையியம் (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:

ஏதாவதொரு ${\displaystyle g\in G}$ க்கு, ${\displaystyle b=gag^{-1}}$.

எளிதாகவே இணையியத்தல் ஒருசமான உறவு என்று கண்டுகொள்ளலாம்.

${\displaystyle a}$ என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால், ${\displaystyle a}$ இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில்,

${\displaystyle a}$ இன் இணையியச் சமானப்பகுதி = ${\displaystyle \{gag^{-1}:g\in G\}}$. இதற்குக்குறியீடு: ${\displaystyle Cl(a).}$

அவதானக் குறிப்பு

இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு ${\displaystyle b=gag^{-1}}$ ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு:

'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான் ${\displaystyle gag^{-1}}$.

வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள்

• ${\displaystyle S_{3}}$ ஐ நோக்குவோம். உறுப்பு ${\displaystyle (b)(ca),}$ உறுப்பு ${\displaystyle (a)(bc)}$ இன் இணையியம். ஏனென்றால், ${\displaystyle g=(c)(ab)}$ என்ற உறுப்பு இணையியத்துக்கு வேண்டிய செயல்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. அதாவது,

${\displaystyle ((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab))^{-1}}$

= ${\displaystyle ((c)(ab))((a)(bc))((c)(ab));}$

= ${\displaystyle ((c)(ab))(acb);}$ ஏனென்றால், ${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c,b\rightarrow a\rightarrow a,c\rightarrow c\rightarrow b.}$

= ${\displaystyle (b)(ac)}$ ஏனென்றால், ${\displaystyle a\rightarrow c\rightarrow c,b\rightarrow a\rightarrow b,c\rightarrow b\rightarrow a.}$

• மறுபடியும், ${\displaystyle S_{3}}$ இல்,

${\displaystyle Cl((c)(ab))=\{(c)(ab),(b)(ac),(a)(bc)\}}$

${\displaystyle Cl(abc)=\{(abc),(acb)\}}$

இணையியமும் சுழலமைப்பும்

தேற்றம்: ${\displaystyle S_{n}}$ இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.

முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.

அதாவது வரிசைமாற்றங்கள் ${\displaystyle \sigma }$ வையும் அதன் இணையியம் ${\displaystyle \tau \sigma \tau ^{-1}}$ ஐயும் பார்ப்போம்.

${\displaystyle \tau \sigma \tau ^{-1}}$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}i\\\tau (i)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i\\\sigma (i)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\tau (i)\\i\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\tau (i)\\\tau \sigma (i)\end{pmatrix}}}$ இதன் சுழலமைப்பு ${\displaystyle \sigma }$ வின் சுழலமைப்புதான்.

மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{*}}$ என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்:

${\displaystyle \sigma =(a_{1}...a_{r})(b_{1}...b_{s})(c_{1}...c_{t})...(f_{1})(f_{2})...(f_{q})}$

${\displaystyle \sigma ^{*}=(a_{1}^{*}...a_{r}^{*})(b_{1}^{*}...b_{s}^{*})(c_{1}^{*}...c_{t}^{*})...(f_{1}^{*})(f_{2}^{*})...(f_{q}^{*})}$

இப்பொழுது, ${\displaystyle \sigma }$ வும் ${\displaystyle \sigma ^{*}}$ ம் இணையியங்கள் என்று காட்டுவோம்.

${\displaystyle \tau }$ என்ற ஒரு வரிசைமாற்றத்தை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்:

${\displaystyle \tau (a_{i})=a_{i}^{*},i=1,...,r}$

${\displaystyle \tau (b_{i})=b_{i}^{*},i=1,...,s}$

${\displaystyle \tau (c_{i})=c_{i}^{*},i=1,...,t}$

.....

${\displaystyle \tau (f_{i})=f_{i}^{*},i=1,...,q}$

ஆகக்கூடி, இப்பொழுது, ${\displaystyle \tau \sigma \tau ^{-1}=\sigma ^{*}}$ என்பதை எளிதில் சரிபார்ர்த்துவிடலாம். ${\displaystyle \therefore \sigma }$ வும் ${\displaystyle \sigma ^{*}}$ ம் இணையியங்கள். Q.E.D.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

இயல்நிலை உட்குலம்