தன்னடுக்கு (கணிதம்)

தன்னடுக்கு (Idempotence = idem + potence (same + power)) ) என்பது கணிதத்திலும் கணினி அறிவியலிலும் சில செயலிகள் கொண்டுள்ள ஒரு பண்பு. இப் பண்புடைய ஒரு செயலியை மீண்டும் மீண்டும் பல முறை நிகழ்த்தினாலும் முதன்முறை நிகழ்த்தும்போது கிடைத்த விளைவே ஒவ்வொரு முறையும் கிடைக்கும்.

இயற்கணிதத்தில் ஒரு மதிப்பினை எத்தனை முழு எண் அடுக்குகளுக்கு உயர்த்தினாலும் மாறாமல் அதே உறுப்பாக அமைவதைக் குறிப்பதற்கு தன்னடுக்கு என்ற சொல் பெஞ்சமின் பியர்சால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.^[1]

இடங்களைப் பொறுத்து தன்னடுக்கின் பொருள் பலவாக அமையும்:

• ஒரு ஓருறுப்புச் செயலி (அல்லது சார்பு) தன்னடுக்குச் செயலி எனில் ஒரு மதிப்பின் மீது அதனை இருமுறை செயல்படுத்தினால் கிடைக்கும் பலன், செயலியை ஒருமுறை பயன்படுத்தினால் கிடைக்கும் பலனுக்குச் சமமாகவே இருக்கும்.

ƒ(ƒ(x)) ≡ ƒ(x).

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• தனிமதிப்புச் சார்பு

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}}$

ƒ ஐ 2 மற்றும் -3 ஆகிய மதிப்புகளின் மீது ஒருமுறை செயல்படுத்தும்போது:

${\displaystyle f(2)=2;f(-3)=3}$

ƒ ஐ 2 மற்றும் -3 ஆகிய மதிப்புகளின் மீது இருமுறை செயல்படுத்தும்போது:

${\displaystyle f(f(2))=f(2)=2;f(f(-3))=f(3)=3;}$

• ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி தன்னடுக்குச் செயலி எனில் இரு சமமான மதிப்புகளின் மீது அதனைச் செயல்படுத்தினால் கிடைக்கும் பலன், அந்த மதிப்பாகவே இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு: இரு மதிக்களின் மீப்பெரு மதிப்பு காணும் செயலி தன்னடுக்கானது:

max (x, x) ≡ x.

• தரப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியின் தன்னடுக்கு உறுப்பு என்பது, அந்த உறுப்பின் இரு சம மதிப்புகளுக்கு அச்செயலியைச் செயற்படுத்தும் போது அதே மதிப்புக் கிடைக்கக் கூடியதொரு உறுப்பாகும்.

பெருக்கல் செயலிக்கு எண் 1 ஒரு தன்னடுக்கு உறுப்பாகும்.

1 × 1 = 1.

வரையறைகள்

ஓருறுப்புச் செயலி

ஒரு ஓருறுப்புச் செயலி ${\displaystyle f:S\rightarrow S}$ எனும் சார்பு தன்னடுக்கு எனில்::

${\displaystyle \forall x\in S,\,}$

${\displaystyle f\!\left(f\!\left(x\right)\right)=f\!\left(x\right)\,}$.

முற்றொருமைச் சார்பு, தனிமதிப்புச் சார்பு, மாறிலிச் சார்புகள் தன்னடுக்குச் சார்புகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

தன்னடுக்கு உறுப்புகளும் ஈருறுப்புச் செயலிகளும்

${\displaystyle S}$ எனும் கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்புச் செயலி, ${\displaystyle \bigstar }$ எனில், இச்செயலியைப் பொறுத்து ${\displaystyle S}$ கணத்தின் ஒரு உறுப்பு ${\displaystyle x}$ தன்னடுக்கு உறுப்பாக இருக்கவேண்டுமெனில்:

${\displaystyle x\,\bigstar \,x=x}$.

ஈருறுப்புச் செயலி ${\displaystyle \bigstar }$ க்கு முற்றொருமை உறுப்பு இருக்குமானால் அது ஒரு தன்னடுக்கு உறுப்பாக இருக்கும்.

${\displaystyle S}$ இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் தன்னடுக்காக இருந்தால் ஈருறுப்புச் செயலி ${\displaystyle \bigstar }$ தன்னடுக்கானது எனப்படும். அதாவது,

${\displaystyle x\,\bigstar \,x=x\forall x\in S}$.

கணிதக்கோட்பாட்டில், கணங்களின் ஒன்றிப்பு, கணங்களின் வெட்டு ஆகிய இரு செயலிகளுகளும் தன்னடுக்கானவை.