பெயர்ச்சி (வடிவவியல்)

யூக்ளிடிய வடிவவியலில் பெயர்ச்சி (translation) என்பது ஒவ்வொரு புள்ளியையும் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில், ஒரேயளவு தூரத்திற்கு நகர்த்தும் சார்பு ஆகும். யூக்ளிடிய வடிவவியலில் உருமாற்றமானது இரு புள்ளிகளின் கணங்களுக்கிடையேயான ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு அல்லது ஒரு தளத்திலிருந்து மற்றொரு தளத்திற்கான கோப்பு ஆகும்.^[1] சுழற்சியையும், எதிரொளிப்பையும் போன்று பெயர்ச்சியும் ஒரு திட இயக்கமாகும். ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் ஒரு குறிப்பிட்டத் திசையனின் கூடுதலாகவும், ஆள்கூற்று முறைமையின் ஆதியின் நகர்த்தலாகவும் பெயர்ச்சியை விவரிக்கலாம்.

பெயர்ச்சியானது, ஒரு வடிவம் அல்லது வெளியிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியையும் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் ஒரேயளவு தொலைவிற்கு நகர்த்துகிறது.

ஒரு அச்சில் எதிரொளிக்கப்பட்டபின், அதனைத் தொடர்ந்து முதல் எதிரொளிப்பு அச்சுக்கு இணையான மற்றொரு அச்சில் எதிரொளிக்கப்பட்டால் இரண்டு எதிரொளிப்புகளின் இணைந்த மொத்த விளைவானது பெயர்ச்சியாக இருக்கும்.

ஒரு பெயர்ச்சி செயலி என்பது கீழ்க்காணும் கணிதச் செயலி ஆகும்:

${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$

v ஒரு நிலையான திசையன் எனில் :

T_v(p) = p + v.

T என்ற பெயர்ச்சியினால் கிடைக்கும் எதிருரு "பெயர்வு" (translate) எனப்படும்.

யூக்ளிடிய வெளியில் பெயர்ச்சி ஒரு சமஅளவை உருமாற்றம் ஆகும். அனைத்து பெயர்ச்சிகளின் கணம் சார்புகளின் தொகுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து ஒரு குலம் ஆகும். இக்குலம் T "பெயர்ச்சி குலம்" எனப்படும். மேலும் இக்குலம் சம அமைவியமானதாகவும், யூக்ளிடிய குலத்தின் (E(n )) இயல்நிலை உட்குலமாகவும் அமையும். T ஆல் கிடைக்கும் யூக்ளிடிய குலத்தின் ஈவு குலம், செங்குத்துக் குலம் O(n ) -உடன் சமஅமைவியம் கொண்டது:

E(n ) / T ≅ O(n ).

அணியின் மூலமாகக் குறித்தல்

பெயர்ச்சி அணி:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

இந்த அணியால் பெருக்குவதனால் பெயர்ச்சியின் விளைவை அடையலாம்:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

திசையனின் திசையை எதிராக மாற்றுவதன் மூலம் பெயர்ச்சி அணியின் நேர்மாறைப் பெறலாம்:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

பெயர்ச்சி அணிகளின் பெருக்கலை திசையன்களைக் கூட்டிப் பெறலாம்:

${\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }.\!}$

திசையன்களின் கூடுதல் பரிமாற்றத்துக்குட்பட்டது என்பதால் பெயர்ச்சி அணிகளின் பெருக்கலும் பரிமாற்றத்துக்குட்பட்டது.