மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம்

யூக்ளிடிய வடிவவியலில் எந்தவொரு முக்கோணத்தின் அடுத்தடுத்தமையும் கோண முச்சமவெட்டிகள் வெட்டிக்கொள்ளும் மூன்று புள்ளிகள், ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கும் என்று மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம் (Morley's trisector theorem) கூறுகிறது. அச்சமபக்க முக்கோணமானது "மோர்லி முக்கோணம்" என அழைக்கப்படுகிறது. இத் தேற்றம் 1899 ஆம் ஆண்டில் ஆங்கிலோ- அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான பிராங்க் மோர்லியால் கண்டறியப்பட்டது. எல்லா முச்சமவெட்டிகளும் வெட்டிக்கொண்டால் மேலும் நான்கு சமபக்க முக்கோணங்கள் கிடைக்கும்.

மோர்லியின் தேற்றப்படி, வெளி முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உச்சிக்கோணத்தையும் முச்சமக் கூறிட்டால் செவ்வூதா நிற முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.

நிறுவல்கள்

மோர்லியின் தேற்றத்திற்கு நுட்பமான சில நிறுவல்கள் உட்படப் பல நிறுவல்கள் உள்ளன.^[1] பல தொடக்ககால நிறுவல்கள் நுண்ணிய முக்கோணவியல் கணக்கீடுகளைக் கொண்டிருந்தன. அண்மைக்கால நிறுவல்கள், பிரெஞ்சுக் கணிதவியலாளர் ஆலன் கானின் இயற்கணித நிறுவலையும்(Alain Connes (1998, 2004)) ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் ஜான் கான்வேயின் வடிவவியல் நிறுவலையும் கொண்டுள்ளன.^[2][3] கோள வடிவவியலிலும் அதிபரவளைய வடிவவியலிலும் மோர்லியின் தேற்றம் உண்மையாகாது.^[4]

Fig 1.   மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றத்திற்கான நிறுவல் படம்

எளிய நிறுவல்

முக்கோணவியல் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி மோர்லியின் தேற்ற நிறுவல்:

• பயன்படுத்தப்படும் முக்கோணவியல் முற்றொருமை:

${\displaystyle \sin(3\theta )=4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )}$

(1)

${\displaystyle \sin(3\theta )=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta .}$

முக்கோணம் ABC இன் பக்கம் ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ இன் மீது படத்தில் காட்டியுள்ளபடி புள்ளிகள் ${\displaystyle D,E,F}$ வரையப்படுகின்றன.

${\displaystyle 3\alpha +3\beta +3\gamma =180^{\circ }}$ (ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல்), :${\displaystyle \implies \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }.}$

${\displaystyle \triangle XEF}$ முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள்:

${\displaystyle \angle {EXF}=\alpha }$,

${\displaystyle \angle {XEF}=(60^{\circ }+\beta ),}$

${\displaystyle \angle {XFE}=(60^{\circ }+\gamma ).}$

${\displaystyle \triangle XEF}$ இல் சைன் சார்பின் வரையறைப்படி,

${\displaystyle \sin(60^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}}$

(2)

${\displaystyle \sin(60^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}.}$

(3)

மேலும், ${\displaystyle \triangle AYC,}$ ${\displaystyle \triangle AZB}$ ஆகிய இரு முக்கோணங்களின் கோணங்கள் ${\displaystyle \angle {AYC}=180^{\circ }-(\alpha +\gamma )=180^{\circ }-(60^{\circ }-\beta )=120^{\circ }+\beta }$ மற்றும்

${\displaystyle \angle {AZB}=120^{\circ }+\gamma .}$

(4)

${\displaystyle \triangle AYC}$ இல் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\frac {\overline {AC}}{\sin(120^{\circ }+\beta )}}={\frac {\overline {AY}}{\sin \gamma }}}$

${\displaystyle \implies \sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

(5)

${\displaystyle \triangle AZB}$ இல் சைன் விதியைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\sin(120^{\circ }+\gamma )}}={\frac {\overline {AZ}}{\sin \beta }}.}$

${\displaystyle \sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta .}$

(6)

${\displaystyle ABC}$ முக்கோணத்தின் குத்துயரம் ${\displaystyle h}$ இன் மதிப்பை இருவழிகளில் காண:

${\displaystyle h={\overline {AB}}\sin(3\beta )={\overline {AB}}\cdot 4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )}$

${\displaystyle h={\overline {AC}}\sin(3\gamma )={\overline {AC}}\cdot 4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma ).}$

${\displaystyle \beta }$ உள்ள சமன்பாட்டில் (2), (5) முடிவுகளையும் ${\displaystyle \gamma }$ உள்ளதில் (3), (6) முடிவுகளையும் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது:

${\displaystyle h=4{\overline {AB}}\sin \beta \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XE}}}\cdot {\frac {\overline {AC}}{\overline {AY}}}\sin \gamma }$

${\displaystyle h=4{\overline {AC}}\sin \gamma \cdot {\frac {\overline {DX}}{\overline {XF}}}\cdot {\frac {\overline {AB}}{\overline {AZ}}}\sin \beta }$

${\displaystyle h}$ இன் இருவிதமான மதிப்புகளையும் சமப்படுத்த:

${\displaystyle {\overline {XE}}\cdot {\overline {AY}}={\overline {XF}}\cdot {\overline {AZ}}}$ (அல்லது)

${\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}.}$

எனவே,

${\displaystyle \triangle XEF\sim \triangle AZY}$ (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்)

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, அவற்றின் ஒத்த கோணங்கள் சமம்.

${\displaystyle \angle {AYZ}=\angle {XFE}=(60^{\circ }+\gamma )}$

${\displaystyle \angle {AZY}=\angle {XEF}=(60^{\circ }+\beta ).}$

${\displaystyle \angle {BXZ}=\angle {CYX}=(60^{\circ }+\alpha )}$

படத்திலிருந்து

${\displaystyle \angle {AZY}+\angle {AZB}+\angle {BZX}+\angle {XZY}=360^{\circ }}$ எனக் காணலாம்.

இதில் தெரிந்த கோணங்களின் மதிப்புகளைப் பதிலிட்டுச் சுருக்க:

${\displaystyle (60^{\circ }+\beta )+(120^{\circ }+\gamma )+(60^{\circ }+\alpha )+\angle {XZY}=360^{\circ }}$

${\displaystyle \implies \angle {XZY}=60^{\circ }.}$

இதேபோல ${\displaystyle \triangle XYZ}$ இன் மற்ற இரு கோணங்களும் ${\displaystyle 60^{\circ }.}$ எனக் காண முடியும். எனவே ${\displaystyle \triangle XYZ}$ ஒரு சமபக்க முக்கோணம்.

தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

பக்கமும் பரப்பளவும்

முதல் மோர்லி முக்கோணத்தின் பக்க நீளம்:

${\displaystyle a^{\prime }=b^{\prime }=c^{\prime }=8R\sin(A/3)\sin(B/3)\sin(C/3),\,}$^[5]

இதில் R என்பது மூல முக்கோணம் ABC இன் சுற்றுவட்ட ஆரம்.

பரப்பளவு: ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான வாய்பாடு:

${\displaystyle {\text{A}}={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a'^{2},}$ இதில் மோர்லியின் பக்க நீளத்தைப் பதிலிட்டுச் சுருக்கக் கிடைப்பது:

${\displaystyle {\text{A}}=16{\sqrt {3}}R^{2}\sin ^{2}(A/3)\sin ^{2}(B/3)\sin ^{2}(C/3).}$