ลำดับโคชี

ในคณิตศาสตร์ ลำดับโคชี (อังกฤษ: Cauchy sequence) เป็นลำดับที่สมาชิกเข้าใกล้กันมากขึ้นเมื่อลำดับนั้นล่วงไป หรือเมื่อพิจารณาพจน์ที่ตำแหน่งสูงขึ้นเรื่อย ๆ^[1] หากกล่าวให้รัดกุมยิ่งขึ้นคือ เมื่อกำหนดระยะห่างค่าบวกเป็นค่าน้อยเท่าไหร่ก็ตาม เกือบทุกสมาชิกของลำดับยกเว้นแต่สมาชิกจำนวนจำกัดตัว จะอยู่ห่างกันน้อยกว่าระยะห่างที่กำหนด

(a) กราฟที่ได้จากการพล็อตลำดับโคชี ${\displaystyle (x_{n})}$ (สีน้ำเงิน) บนระบบพิกัดฉาก เทียบกับค่า ${\displaystyle n}$ ถ้าปริภูมิของลำดับนี้เป็นปริภูมิบริบูรณ์ แล้วลำดับโคชีจะมีลิมิตเสมอ

(b) ตัวอย่างลำดับที่ไม่เป็นลำดับโคชี สมาชิกของลำดับไม่ได้เข้าใกล้มากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อพจน์ของมันมากขึ้นเรื่อย ๆ

ลำดับนี้ตั้งชื่อตามโอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี

เงื่อนไขที่ว่าทุกพจน์ติดกันของลำดับจะอยู่ใกล้กันเท่าไรก็ได้ (arbitrarily close) นั้นไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น ลำดับของรากที่สองของจำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}}}$ พจน์ที่อยู่ติดกันจะอยู่ใกล้กันเท่าไหร่ก็ได้ เนื่องจาก

${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}}$

แต่ลำดับดังกล่าวไม่เป็นลำดับลู่เข้า ทั้งนี้เพราะว่าพจน์ ${\displaystyle a_{n}}$ มีค่ามากได้ไม่จำกัด และทุกจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle n}$ และระยะทางค่าบวก ${\displaystyle d}$ ใด ๆ จะมีจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle m}$ ที่ทำให้ ${\displaystyle x_{m}-x_{n}>d}$ ลำดับดังกล่าวจึงไม่เป็นลำดับโคชี

ในระบบจำนวนจริง

ลำดับ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$ ของจำนวนจริงจะเรียกว่าเป็นลำดับโคชี ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกจำนวนจริงบวก ${\displaystyle \varepsilon }$ จะมีจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle N}$ ที่ทำให้สำหรับทุกจำนวนนับ ${\displaystyle m,n>N}$ จะได้ว่า ${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon }$

สำหรับจำนวนจริง ${\displaystyle r}$ ใด ๆ ลำดับที่เกิดจากการกระจายทศนิยมแล้วตัดทอนทศนิยมตำแหน่งต่าง ๆ ของ ${\displaystyle r}$ จะเป็นลำดับโคชี ตัวอย่างเช่น เมื่อ ${\displaystyle r=\pi }$ จะสร้างลำดับโคชีได้เป็น ${\displaystyle (3,3.1,3.14,3.141,\ldots )}$ เทอมที่ ${\displaystyle m}$ และ ${\displaystyle n}$ ของลำดับจะต่างกันได้มากสุด ${\displaystyle 10^{1-m}}$ เมื่อ ${\displaystyle m<n}$ จึงส่งผลให้เมื่อ ${\displaystyle m}$ มีค่าโตขึ้น ผลต่างของเทอมที่ ${\displaystyle m}$ และ ${\displaystyle n}$ จะน้อยกว่าจำนวนบวก ${\displaystyle \varepsilon }$ ใดที่กำหนดได้

ในปริภูมิเมตริก

เนื่องจากนิยามของลำดับโคชีนั้นใช้แนวคิดเกี่ยวกับเมตริกเท่านั้น จึงสามารถขยายนัยทั่วไปยังปริภูมิเมตริก ${\displaystyle (X,d)}$ ใด ๆ ได้ โดยเปลี่ยนฟังก์ชันค่าสมบูรณ์ของ ${\displaystyle \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert }$ เป็นฟังก์ชันเมตริก ${\displaystyle d(x_{m},x_{n})}$ ของปริภูมิเมตริกนั้น

ความบริบูรณ์

ปริภูมิเมตริก ${\displaystyle (X,d)}$ ที่ทุกลำดับโคชีลู่เข้าใน ${\displaystyle X}$ เรียกว่าปริภูมิสมบูรณ์

ตัวอย่าง

ระบบจำนวนจริงเป็นปริภูมิสมบูรณ์ภายใต้เมตริกค่าสัมบูรณ์ปกติ และวิธีการสร้างจำนวนจริงที่รู้จักกันทั่วไปนั้นใช้ลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะ ในการสร้างจำนวนจริงข้างต้น ทุกชั้นสมมูลของลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะที่มีพฤติกรรมอย่างเดียวกัน จะถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริง

อ้างอิง

1. Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., ISBN 978-0-201-55540-0