คณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่ครอบคลุมการค้นคว้าเกี่ยวกับ ปริมาณ โครงสร้าง การเปลี่ยนแปลง และปริภูมิ มีการพิสูจน์ผ่านการให้เหตุผลที่รัดกุม นำไปสู่ความรู้ที่เรียกว่าทฤษฎีบทหรือทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ เพื่อใช้งานในศาสตร์เชิงประจักษ์ อาทิ วิทยาศาสตร์และฟิสิกส์ หรือใช้ในคณิตศาสตร์เอง คณิตศาสตร์แบ่งย่อยออกเป็นหลายสาขา ซึ่งรวมไปถึงทฤษฎีจำนวนซึ่งศึกษาจำนวน, พีชคณิตซึ่งศึกษาสูตร สมการและโครงสร้างที่เกี่ยวข้อง, เรขาคณิตซึ่งศึกษารูปร่าง รูปทรงและปริภูมิที่บรรจุรูปร่างรูปทรงต่าง ๆ, คณิตวิเคราะห์ซึ่งศึกษาการเปลี่ยนแปลงแบบต่อเนื่อง และทฤษฎีเซตที่ปัจจุบันใช้เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ทั้งปวง

คณิตศาสตร์มุ่งอธิบายและจัดการวัตถุเชิงนามธรรมที่เรียกว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์ ซึ่งอาจจะมีที่มาจากการเปลี่ยมมุมมองสิ่งต่าง ๆ ในธรรมชาติให้เป็นนามธรรม หรือมีที่มาจากวัตถุนามธรรมที่ไม่ได้มีที่มาจากธรรมชาติแต่เกิดจากการกำหนดให้มีสมบัติบางอย่างให้มีขึ้นมา สมบัติเหล่านั้นเรียกว่า สัจพจน์ คณิตศาสตร์ใช้เพียงเหตุผลเท่านั้นเพื่อพิสูจน์สมบัติของวัตถุต่าง ๆ โดยบทพิสูจน์ประกอบไปด้วยข้อความที่เกิดจากการอ้างเหตุผลจากความรู้ก่อนหน้า สิ่งที่นับเป็นความรู้ก่อนหน้าได้แก่ ทฤษฎีบท สัจพจน์ หรือหากเป็นคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการสร้างแนวคิดนามธรรมจากตัวอย่างที่มีในธรรมชาติ สามารถถือว่าสมบัติพื้นฐานของธรรมชาติที่ทราบว่าจริงเป็นความรู้ก่อนหน้าได้^[1]

คณิตศาสตร์มีความสำคัญอย่างขาดไม่ได้ในศาสตร์ต่าง ๆ อย่าง วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ วิศวกรรมศาสตร์ แพทยศาสตร์ การเงิน วิทยาการคอมพิวเตอร์ และสังคมวิทยา ถึงแม้ว่าวิทยาศาสตร์จะใช้จำลองปรากฏการณ์ต่าง ๆ ในธรรมชาติ ความจริงพื้นฐานของคณิตศาสตร์เป็นอิสระจากการทดลองทางวิทยาศาสตร์ใด ๆ สาขาบางสาขาของคณิตศาสตร์ เช่น สถิติศาสตร์และทฤษฎีเกมถูกพัฒนาไปพร้อมกับการประยุกต์ใช้ในศาสตร์อื่น ๆ จึงได้ชื่อว่า คณิตศาสตร์ประยุกต์ ในขณะที่สาขาอื่น ๆ ไม่ได้ถูกสร้างขึ้นเพื่อประยุกต์ใช้ในด้านอื่น จะเรียกว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แต่ในภายหลังอาจค้นพบการประยุกต์ใช้ได้^[2][3]

ตามประวัติศาสตร์แล้ว แนวคิดเรื่องการพิสูจน์และความรัดกุมทางคณิตศาสตร์ปรากฏขึ้นครั้งแรกในคณิตศาสตร์กรีกโบราณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเอเลเมนส์ของยุคลิด^[4] คณิตศาสตร์เดิมทีถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนใหญ่ ๆ คือเรขาคณิตและเลขคณิต ซึ่งเป็นการดำเนินการกับจำนวนธรรมชาติและเศษส่วน จนกระทั่งในศตวรรษที่ 16 และ 17 พีชคณิตและแคลคูลัสกณิกนันต์เริ่มปรากฏขึ้นเป็นสาขาใหม่ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา การค้นคว้าใหม่ ๆ ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ซึ่งเกี่ยวเนื่องกันนำไปสู่การพัฒนาศาสตร์ทั้งสอง^[5] เมื่อถึงปลายศตวรรษที่ 19 วิกฤติการณ์รากฐานของคณิตศาสตร์นำไปสู่การจัดระบบของระเบียบวิธีเชิงสัจพจน์^[6] ทำให้เกิดสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ จำนวนมากและการประยุกต์ในด้านต่าง ๆ การจัดหมวดหมู่คณิตศาสตร์ในปัจจุบันที่เรียกว่า Mathematics Subject Classification ระบุว่ามีสาขาของคณิตศาสตร์ในชั้นต้นสุดมากกว่า 60 สาขา

สาขาของคณิตศาสตร์

บทความหลัก: สาขาของคณิตศาสตร์

ในเชิงภาพรวมอาจกล่าวได้ว่า คณิตศาสตร์สามารถแบ่งออกเป็นสาขาย่อย ๆ ตามสิ่งที่ศึกษาได้เป็น การศึกษาปริมาณ โครงสร้าง ปริภูมิและความเปลี่ยนแปลง ซึ่งตรงกับสาขาเลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต และคณิตวิเคราะห์ตามลำดับ นอกจากนี้เราอาจพิจารณาคณิตศาสตร์ผ่านความสมพันธ์กับสาขาอื่น ๆ เช่น คณิตตรรกศาสตร์กับตรรกศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยุกต์กับวิทยาศาสตร์ ปัจจุบันเราพบว่าหลายสาขาของคณิตศาสตร์ที่ดูผิวเผินจะไม่เกี่ยวข้องกัน กลับสัมพันธ์กันอย่างลึกซึ้ง เช่น กรุปกาลัวส์ พื้นผิวรีมันน์และทฤษฎีจำนวน ซึ่งดูแยกออกจากกันโดยสิ้นเชิงนั้น เกี่ยวเนื่องกันผ่านมุมมองของโปรแกรมแลงแลนดส์

รากฐานและปรัชญา

บทความหลัก: รากฐานของคณิตศาสตร์

หลังจากการพัฒนาทฤษฎีเซตในปลายศตวรรษที่ 19 ทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ที่สำคัญมากที่สุดในรูปแบบหนึ่ง ความพยายามทำความเข้าใจรากฐานนี้ส่งผลให้เกิดการศึกษาคณิตตรรกศาสตร์ และปรัชญาคณิตศาสตร์

ปรัชญาของคณิตศาสตร์

${\displaystyle p\Rightarrow q\,}$
คณิตตรรกศาสตร์	ทฤษฎีเซต	ทฤษฎีแคทิกอรี	ทฤษฎีการคำนวณ

ปรัชญาคณิตศาสตร์ - รากฐานของคณิตศาสตร์ - ทฤษฎีเซต - ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ - ทฤษฎีโมเดล - ทฤษฎีแคทิกอรี - ตรรกศาสตร์

คณิตศาสตร์บริสุทธิ์

บทความหลัก: คณิตศาสตร์บริสุทธิ์

ทฤษฎีจำนวน

บทความหลัก: ทฤษฎีจำนวน

เส้นเวียนก้นหอยของอูลัมแสดงให้เห็นการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ เส้นทแยงมุมสีเข้มในเห็นในเส้นเวียนก้นหอยเสนอว่ามีความเป็นอิสระระหว่างการเป็นจำนวนเฉพาะและการเป็นค่าของพหุนามกำลังสอง ซึ่งเป็นข้อความคาดการณ์ที่ปัจจุบันเรียกว่าข้อความคาดการณ์ F ของฮาร์ดีและลิตเติลวูด

ทฤษฎีจำนวนมีจุดเริ่มต้นจากการดำเนินการกับจำนวนที่เป็นจำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle (\mathbb {N} )}$ แล้วต่อมาขยายเป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ และจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$ ทฤษฎีจำนวนเคยถูกเรียกว่า เลขคณิต (arithmetic) แต่ปัจจุบันคำนี้ส่วนใหญ่ใช้สำหรับการคำนวณตัวเลข^[7] ทฤษฎีจำนวนสามารถสืบประวัติย้อนกลับไปถึงบาบิโลนโบราณ และเป็นไปได้ว่าปรากฎตั้งแต่สมัยจีนโบราณด้วย นักทฤษฎีจำนวนในยุคแรกที่มีชื่อเสียงสองคนคือ ยุคลิด แห่งกรีกโบราณและ ไดโอแฟนตัส แห่งอเล็กซานเดรีย^[8] การวิจัยทฤษฎีจำนวนแบบนามธรรมอย่างในปัจจุบัน มักได้รับการเสนอว่าเป็นผลงานของ ปีแยร์ เดอ แฟร์มา และ เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ จนมีเกิดผลงานจำนวนมากโดยอาดรีแย็ง-มารี เลอฌ็องดร์ และ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์^[9]

ข้อปัญหาเกี่ยวกับตัวเลขที่อธิบายได้ง่ายหลายปัญหามีบทพิสูจน์ที่ซับซ้อน และมักเชื่อมโยงคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ มาใช้พิสูจน์ ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดคือคือ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา ที่กล่าวว่าไม่มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ เมื่อ ${\displaystyle n\geq 3}$ โดยแฟร์มาตั้งข้อความคาดการณ์นี้ไว้ในปี ค.ศ. 1637 แต่เพิ่งได้รับการพิสูจน์ในปี ค.ศ. 1994 โดยแอนดรูว์ ไวลส์ และใช้เครื่องมือต่าง ๆ ที่รวมถึง ทฤษฎีสกีมในเรขาคณิตพีชคณิต, ทฤษฎีแคทิกอรี และ พีชคณิตเชิงโฮโมโลยี^[10] อีกตัวอย่างคือข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคซึ่งระบุว่าจำนวนเต็มคู่ทุกจำนวนที่มากกว่า 2 เขียนได้ในรูปผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว ข้อความคาดการณ์นี้ตั้งโดยคริสเตียน ก็อลท์บัค ในปี ค.ศ. 1742 แต่ยังพิสูจน์ไม่ได้แม้นักคณิตศาสตร์จะพยายามอย่างมากเท่าใดก็ตาม^[11]

ทฤษฎีจำนวนประกอบด้วยสาขาย่อยหลายสาขา ซึ่งรวมถึง ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์, ทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต, เรขาคณิตของจำนวน, สมการไดโอแฟนไทน์ และ ทฤษฎีอดิศัย^[12]

โครงสร้าง

บทความหลัก: พีชคณิต

สาขาเหล่านี้ ศึกษาขนาดและความสมมาตรของจำนวนและวัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ

ทฤษฎีจำนวน	ทฤษฎีกรุป	ทฤษฎีกราฟ	ทฤษฎีอันดับ

พีชคณิตนามธรรม - ทฤษฎีจำนวน - ทฤษฎีกรุป - ทอพอโลยี - พีชคณิตเชิงเส้น - ทฤษฎีแคทิกอรี - ทฤษฎีอันดับ

เรขาคณิต

บทความหลัก: เรขาคณิต

บนพื้นผิวของทรงกลม เรขาคณิตแบบยุคลิดใช้ได้เป็นการประมาณเฉพาะในบริเวณเล็ก ๆ เท่านั้น เมื่อพิจารณาสเกลที่ใหญ่กว่าจะพบว่าผลรวมมุมภายในของสามเหลี่ยมไม่เท่ากับ 180°

เรขาคณิตเป็นสาขาหนึ่งที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ เรขาคณิตเริ่มต้นจากข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์เกี่ยวกับรูปร่างทั่วไป เช่น เส้นตรง, มุม และ วงกลม ซึ่งพัฒนาขึ้นจากความต้องการนำไปใช้งานทางการสำรวจรังวัดและสถาปัตยกรรม ก่อนจะก็ขยายออกไปประยุกต์ใช้ในสาขาอื่น ๆ อีกมากมาย^[13]

แนวคิดอันหนึ่งที่เปลี่ยนแปลงความเข้าใจทางเรขาคณิตของมนุษย์คือแนวคิดเรื่องการพิสูจน์ของขาวกรีกโบราณ ซึ่งเสนอว่าข้อความใด ๆ ที่จะนำไปใช้งานต้องได้รับการพิสูจน์ ตัวอย่างเช่น หากเสนอว่าเส้นตรงสองเส้นในทฤษฎีบททางเรขาคณิตจะมีความยาวเท่ากันเสมอ การวัดด้วยอุปกรณ์ว่าเส้นตรงสองเส้นยาวเท่ากันนั้นไม่เพียงพอ ต้องพิสูจน์ด้วยการใช้เหตุผลจากสิ่งที่ยอมรับหรือเชื่อถือกันมาก่อนหน้านี้ (เรียกว่า ทฤษฎีบท) หรือจากข้อความมูลฐานสองสามข้อ มีข้อความมูลฐานส่วนหนึ่งที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้เนื่องจากเป็นสิ่งที่เห็นได้ชัดในตัวเอง (เรียกว่า สมมติฐาน) หรือเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของหัวข้อการศึกษา (สัจพจน์) หลักการนี้เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ทั้งหมด ถูกประยุกต์ใช้เป็นครั้งแรกสำหรับเรขาคณิตโดย ยุคลิด ราว 300 ปีก่อนคริสตกาล ในหนังสือของเขาเรื่อง เอเลเมนส์^[14][15]

เรขาคณิตที่ถูกเสนอโดยยุคลิดเรียกว่า เรขาคณิตแบบยุคลิด เป็นการศึกษารูปร่างรูปทรงต่าง ๆ ที่สามารถสร้างขึ้น จากเส้นและวงกลมใน ระนาบแบบยุคลิด ทั้งบนระนาบ (เรขาคณิตบนระนาบ) และในปริภูมิสามมิติ^[13]

ความเปลี่ยนแปลง

บทความหลัก: คณิตวิเคราะห์

หัวข้อเหล่านี้ เกี่ยวข้องกับการวัดความเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ และความเปลี่ยนแปลงระหว่างจำนวน

แคลคูลัส	แคลคูลัสเวกเตอร์	การวิเคราะห์เชิงซ้อน	สมการเชิงอนุพันธ์	ระบบพลวัต	ทฤษฎีความอลวน

แคลคูลัส - แคลคูลัสเวกเตอร์ - คณิตวิเคราะห์ - การวิเคราะห์เชิงจริง - การวิเคราะห์เชิงซ้อน - ทฤษฎีเมเชอร์ - การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน - การวิเคราะห์ฟูร์ริเยร์ - สมการเชิงอนุพันธ์ - ระบบพลวัติ - ทฤษฎีความอลวน - รายการฟังก์ชัน

วิยุตคณิต

วิยุตคณิต คือแขนงของคณิตศาสตร์ที่สนใจวัตถุที่มีค่าเฉพาะเจาะจงที่แตกต่างกัน

${\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}}$
คณิตศาสตร์เชิงการจัด	ทฤษฎีการคำนวณ	วิทยาการเข้ารหัสลับ	ทฤษฎีกราฟ

คณิตศาสตร์เชิงการจัด - ทฤษฎีการคำนวณ - วิทยาการเข้ารหัสลับ - ทฤษฎีกราฟ

คณิตศาสตร์ประยุกต์

สาขาในคณิตศาสตร์ประยุกต์ ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้ปัญหาในโลกของความเป็นจริง

• 
  ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์
• 
  กลศาสตร์ของไหล
• 
  การวิเคราะห์เชิงตัวเลข
• 
  การหาค่าเหมาะที่สุด
• 
  ความน่าจะเป็น
• 
  สถิติศาสตร์
• 
  คณิตศาสตร์การเงิน
• 
  ทฤษฎีเกม
• 
  ทฤษฎีระบบควบคุม

คณิตศาสตร์ฟิสิกส์ - กลศาสตร์ - กลศาสตร์ของไหล - การวิเคราะห์เชิงตัวเลข - การหาค่าเหมาะที่สุด - ความน่าจะเป็น - สถิติศาสตร์ - คณิตศาสตร์การเงิน - ทฤษฎีเกม - คณิตศาสตร์ชีววิทยา - วิทยาการเข้ารหัสลับ - ทฤษฎีข้อมูล - ทฤษฎีระบบควบคุม

ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์

บทความหลัก: ประวัติของคณิตศาสตร์

ที่มาของคำ

คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (สันสกฤต: गणित) ซึ่งแปลว่าที่ถูกนับ ที่ถูกคำนวณ หรือ คณิตศาสตร์^[16] คำว่า คณิต มีราก คณฺ (गण्) ซึ่งหมายถึง นับ คำนวณ และคำว่า ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ

ในภาษาอังกฤษคำว่าคณิตศาสตร์ตรงกับคำว่า mathematics ซึ่งมาจากคำภาษากรีกโบราณ μάθημα (máthēma) ซึ่งดั้งเดิมหมายถึง "สิ่งที่ได้เรียน" "สิ่งที่จะได้ทราบ" จึงขยายความหมายออกไปรวมถึงความหมาย "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน"^[17] ในอเมริกาเหนือนิยมย่อคำว่า mathematics ว่า math ส่วนประเทศอื่น ๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths

หนึ่งในสองสำนักคิดหลักย่อยของลัทธิพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักกันในชื่อ mathēmatikoi (μαθηματικοί) ซึ่งในสมัยนั้นแปลว่า "ผู้เรียน" มากกว่า "นักคณิตศาสตร์" ในความหมายสมัยใหม่ ลัทธิพีทาโกรัสน่าจะเป็นกลุ่มแรกที่จำกัดการใช้คำนี้เฉพาะการศึกษาเลขคณิตและเรขาคณิตเท่านั้น เมื่อถึงสมัยของอริสโตเติล (384–322 ปีก่อนคริสตกาล) ความหมายที่แคบลงนี้ก็เป็นที่ยอมรับโดยกว้างแล้ว^[18]

ในภาษาละตินและภาษาอังกฤษ จนถึงราวปี ค.ศ. 1700 คำว่า คณิตศาสตร์ มักหมายถึง "โหราศาสตร์" (หรือบางครั้งหมายถึง "ดาราศาสตร์") มากกว่า "คณิตศาสตร์" อย่างที่รู้จักกันในปัจจุบัน ความหมายของคำนี้ค่อย ๆ เปลี่ยนไปเป็นความหมายปัจจุบันตั้งแต่ประมาณปี ค.ศ. 1500 ถึงปี ค.ศ. 1800 การเปลี่ยนแปลงนี้ส่งผลให้เกิดการแปลผิดหลายครั้ง ตัวอย่างเช่น คำเตือนของนักบุญออกัสตินว่าคริสเตียนควรระวัง mathematici ซึ่งแปลว่า "นักโหราศาสตร์" บางครั้งก็ถูกแปลผิดว่าเป็นการประณามนักคณิตศาสตร์ไปเสีย^[19]

สมัยโบราณ

แผ่นดินเหนียวบรรจุข้อความทางคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนชื่อว่า Plimpton 322 มีอายุถึง 1800 ปีก่อนคริสตกาล

นอกจากจะรู้จักวิธีการนับวัตถุแล้ว ผู้คนในยุคก่อนประวัติศาสตร์อาจรู้จักวิธีการนับปริมาณนามธรรม เช่น เวลา จากการนับวัน ฤดูกาล หรือปีอีกด้วย^[20][21] ไม่ปรากฏหลักฐานของคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนกว่านี้จนกระทั่งประมาณ 3000 ปีก่อนคริสตกาล เมื่อชาวบาบิโลนและชาวอียิปต์โบราณเริ่มใช้เลขคณิต พีชคณิต และเรขาคณิตสำหรับการจัดเก็บภาษีและการคำนวณทางการเงิน สำหรับอาคารและการก่อสร้าง และสำหรับดาราศาสตร์^[22] ตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดจากเมโสโปเตเมียและอียิปต์ มีอายุระหว่าง 2,000 ถึง 1,800 ปีก่อนคริสตกาล^[23] ตำราแรกสุดจากยุคนั้นจำนวนมากเขียนบรรยายถึงสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ฉะนั้นอาจอนุมานได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสน่าจะเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดและแพร่หลายที่สุดรองลงมาจากเลขคณิตและเรขาคณิตพื้นฐาน หลักฐานทางโบราณคดีบ่งชี้ว่าเลขคณิตเบื้องต้น อันประกอบไปด้วยการบวก การลบ การคูณ และ การหาร ปรากฏครั้งแรกในคณิตศาสตร์บาบิโลน ชาวบาบิโลนยังมีแนวคิดเรื่องค่าประจำหลัก (place-value system) และใช้เลขฐานหกสิบในการวัดมุมและเวลาซึ่งสืบทอดมาจนถึงทุกวันนี้^[24]

ยุคกลางและยุคหลัง

หน้าหนึ่งจาก อัล-ญะบรี ของ อัลเคาะวาริซมี

ในช่วงยุคทองของศาสนาอิสลาม โดยเฉพาะในคริสต์ศตวรรษที่ 9 และ 10 ปรากฏนวัตกรรมที่สำคัญอย่างมากในคณิตศาสตร์โดยต่อยอดมาจากคณิตศาสตร์กรีก ความสำเร็จที่โดดเด่นที่สุดของคณิตศาสตร์อิสลามคือการพัฒนา พีชคณิต และความสำเร็จอื่น ๆ ในยุคอิสลาม ได้แก่ ความก้าวหน้าทางตรีโกณมิติทรงกลม และการใช้สัญลักษณ์จุดทศนิยมในระบบเลขอารบิก ^[25] นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนในยุคนี้ประกอบไปด้วยนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซีย เช่น มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลเคาะวาริซมี โอมาร์ คัยยาม และ ชาราฟ อัล-ตูซี ^[26] ตำราคณิตศาสตร์ภาษากรีกและอาหรับได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในช่วงยุคกลางและเผยแพร่ในยุโรป ^[27]

ในช่วงต้นยุคสมัยใหม่ คณิตศาสตร์พัฒนาอย่างรวดเร็วในยุโรปตะวันตก ด้วยแนวคิดที่ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์ เช่น การริเริ่มใช้ตัวแปรและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ โดย ฟร็องซัว วิเอเต้ (1540–1603) การริเริ่มใช้ลอการิทึมโดย จอห์น เนเปียร์ ในปี 1614 ซึ่งทำให้การคำนวณเชิงตัวเลขง่ายขึ้นอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อการใช้งานทางดาราศาสตร์และการเดินเรือ การริเริ่มใช้ระบบพิกัดโดย เรอเน เดการ์ต (1596–1650) เพื่อแปลงเรขาคณิตให้เป็นพีชคณิต และการพัฒนาแคลคูลัสโดยไอแซก นิวตัน (1643–1727) และ ก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ (1646–1716) เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ (1707–1783) นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดในศตวรรษที่ 18 ได้รวบรวมนวัตกรรมเหล่านี้เข้าด้วยกันเป็นคลังข้อมูลเดียวให้ใช้คำศัพท์มาตรฐาน และ่ต่อยอดเพิ่มเติมด้วยการค้นพบและพิสูจน์ทฤษฎีบทอีกมากมาย ^[28]

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์

หนึ่งในนักคณิตศาสตร์คนสำคัญที่สุดในศตวรรษที่ 19 คือ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ผู้มีส่วนร่วมในสาขาต่าง ๆ มากมาย เช่น พีชคณิต คณิตวิเคราะห์ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีเมทริกซ์ ทฤษฎีจำนวน และ สถิติศาสตร์ ^[29] ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ควร์ท เกอเดิล ได้พลิกโฉมคณิตศาสตร์โดยการตีพิมพ์ ทฤษฎีบทความไม่บริบูรณ์ของเกอเดิล ซึ่งพิสูจน์ว่าระบบสัจพจน์ที่ต้องกันใด ๆ หากระบบสัจพจน์มีความสามารถเพียงพอที่จะดำเนินการเกี่ยวกับเลขคณิต แล้วจะมีประพจน์ที่เป็นจริงซึ่งพิสูจน์ไม่ได้ ^[30]

จนถึงปัจจุบัน คณิตศาสตร์ขยายออกไปอย่างกว้างขวาง และเกิดปฏิสัมพันธ์อันดีระหว่างคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ซึ่งเป็นประโยชน์ต่อทั้งสองฝ่าย การค้นพบทางคณิตศาสตร์ยังคงเกิดขึ้นมาจนถึงทุกวันนี้ ตามที่มิคาอิล บี. เซฟรีอุค กล่าวไว้ ในวารสารวิชาการเดือนมกราคม วารสารสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ฉบับปี พ.ศ. 2549 ระบุว่า "จำนวนเอกสารและหนังสือที่รวมอยู่ในฐานข้อมูล Mathematical Reviews (MR) ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2483 (ปีแรกของการดำเนินงาน MR) ปัจจุบันมีมากกว่า 1.9 ล้านและมากกว่า 75 มีการเพิ่มรายการนับพันรายการลงในฐานข้อมูลทุกปี ผลงานส่วนใหญ่ในมหาสมุทรนี้ประกอบด้วยทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์และการพิสูจน์ใหม่ ๆ ^[31]

เครื่องมือทางคณิตศาสตร์

• ลูกคิด
• กระดูกนาเปียร์
• ไม้บรรทัด และ วงเวียน
• เครื่องคิดเลข และ คอมพิวเตอร์
• ภาษาโปรแกรม