คณิตวิเคราะห์

ระวังสับสนกับ การวิเคราะห์เชิงตัวเลข (numerical analysis)

คณิตวิเคราะห์ (อังกฤษ: mathematical analysis) เป็นสาขาหนึ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันต่อเนื่อง การเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชัน และรวมไปถึงทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเหล่านั้น^[1][2] เช่น ลิมิต, อนุกรมเลข, อนุพันธ์, ปริพันธ์ รวมไปถึงหัวข้อที่ลึกซึ้งมากยิ่งขึ้น เช่น ทฤษฎีเมเชอร์และฟังก์ชันวิเคราะห์^[3] โดยส่วนมากจะศึกษาในบริบทของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนไปจนถึงฟังก์ชัน คณิตวิเคราะห์พัฒนามาจากแคลคูลัสที่มีการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานรวมอยู่ด้วย คณิตวิเคราะห์ไม่ใช่เรขาคณิต แต่ทั้งนี้คณิตวิเคราะห์สามารถใช้ในศึกษาปริภูมิของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีแนวคิดเรื่องความใกล้ (เช่นปริภูมิเชิงทอพอโลยี) หรือระยะห่างที่จำเพาะระหว่างวัตถุได้ (เช่นปริภูมิเมตริก)

ตัวดึงดูดประหลาดในรูปคือแนววิถีของสมการเชิงอนุพันธ์สมการหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์เป็นสาขาสำคัญของคณิตวิเคราะห์ที่มีการประยุกต์ใช้ใน วิทยาศาสตร์ และ วิศวกรรมศาสตร์ มากมาย

ประวัติ

คณิตวิเคราะห์ในยุคโบราณ

คณิตวิเคราห์เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 ในช่วงการปฏิวัติวิทยาศาสตร์^[4] แต่ผลลัพธ์แรก ๆ ในคณิตวิเคราะห์ปรากฏโดยนัยในคณิตศาสตร์ของชาวกรีกยุคแรก^[5] ตัวอย่างเช่น แนวคิดเรื่องอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเซโน^[6] ต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เช่นยูโดซัสและอาร์คิมิดีส ได้ใช้หลักการลิมิตและการลู่เข้าที่ชัดแจ้งแต่ไม่เป็นทางการเมื่อเขาใช้ระเบียบวิธีเกษียณในการคำนวณพื้นที่และปริมาตรของขอบเขตหรือของแข็ง^[7] ในอินเดีย นักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 12 ได้ยกตัวอย่างของอนุพันธ์และได้ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ปัจจุบันนี้เรียกว่าทฤษฎีบทของโรลล์

คณิตวิเคราะห์ในยุคกลาง

ในช่วงศตวรรษที่ 14 Madhava of Sangamagrama ได้พัฒนาการกระจายอนุกรมของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และแทงเจ็นต์ และฟังก์ชันแทงเจ็นต์ผกผัน ซึ่งปัจจุบันรู้จักในชื่ออนุกรมเทย์เลอร์ นอกจากการพัฒนาอนุกรมเทเลอร์ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติแล้ว เขายังคาดคะเนความมากน้อยของเทอมผิดพลาดที่เกิดจากการลดทอนอนุกรมเหล่านี้ได้อีกด้วย อีกทั้งยังสามารถประมาณค่าของอนุกรมอนันต์ในรูปแบบตรรกยะได้ ต่อมามีการพัฒนาต่อยอดไปอีกในช่วงศตวรรษที่ 20

คณิตวิเคราะห์สมัยใหม่

ในยุปโรปในช่วงศตวรรษที่ 17 ตอนปลาย นิวตันและไลบ์นิซได้พัฒนาแคลคูลัสกณิกนันต์โดยเอกเทศแต่ได้บทสรุปเหมือนกันที่ได้รับการพัฒนาต่อยอดโดยงานประยุกต์ที่มีต่อ ๆ ไปในช่วงศตวรรษที่ 18 เช่นแคลคูลัสของการแปรผัน, สมการเชิงอนุพันธ์ทั่วไป และสมการเชิงอนุพันธ์แบบย่อย, การวิเคราะห์ฟูเรียร์, และฟังก์ชันก่อกำเนิด ในช่วงเวลานี้ เทคนิกทางแคลคูลัสได้รับการประยุกต์ใช้เพื่อประมาณค่าทางวิยุตคณิตโดยใช้ฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในช่วงศตวรรษที่ 18 ออยเลอร์ได้คิดค้นแนวคิดฟังก์ชันคณิตศาสตร์^[8] คณิตวิเคราะห์จำนวนจริงได้เริ่มต้นขึ้นโดยเอกเทศเมื่อเบอร์นาร์ด โบลซาโนคิดค้นคำนิยามของคำว่าความต่อเนื่องในปี 1816^[9] แต่งานของโบลซาโนไม่เป็นที่รู้อย่างกว้างขวางก่อนช่วงปี 1870 ในปี 1821 โคชีได้เริ่มสร้างพื้นทางให้กับแคลคูลัสโดยเลิกคำนึงถึงความทั่วไปของพิชคณิตซึ่งเป็นสิ่งที่ออยเลอร์ให้ความสนใจมากก่อนหน้านี้ โคชีใช้แนวคิดกณิกนันต์และแนวคิดทางเรขาคณิตมาใช้ในแคลคูลัส จนทำให้เกิดคำพูดที่ว่าการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมาก ๆ ของค่า x ส่งผลให้ค่า y เปลี่ยนแปลงอย่างน้อย ๆ เช่นกัน เขาเริ่มใช้แนวคิดอนุกรมโคชีและทฤษฎีใหม่ล่าสุดในตอนนั้นซึ่งคือคณิตวิเคราะห์เชิงซ้อน ปัวซอง, ลียูวิลล, ฟูร์เยร์ และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ เริ่มศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์แบบย่อยและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก นั่นส่งผลให้ไวแยร์สตราสส์พัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้ (ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง

ในช่วงกลางศตวรรษ รีมันน์ได้คิดค้นทฤษฎีของการหาปริพันธ์ ต่อมาในศตวรรษที่ 19 ช่วงปลายได้มีการทำให้การวิเคราะห์มีความเป็นเลขคณิตมากขึ้นโดยไวแยร์สตราสส์ผู้ซึ่งเชื่อว่าการวิเคราะห์แบบเรขาคณิตทำให้การวิเคราะห์สับสนง่ายและพัฒนาความเข้าใจลิมิตโดยใช้ (ε, δ) และทำให้เกิดพื้นฐานริเริ่มของคณิตวิเคราะห์นั่นเอง

จากนั้น นักคณิตศาสตร์เริ่มมีความกังวลเกี่ยวกับสมมติฐานที่ว่าจำนวนจริงอยู่บนเส้นจำนวนจริงที่ต่อเนื่องเพราะว่าไม่มีการพิสูจน์ เดเดคินด์จึงได้สร้างจำนวนจริงขึ้นโดยใช้ส่วนตัดเดเดคินด์ซึ่งทำให้สามารถนิยามจำนวนอตรรยะได้เป็นอย่างดี ซึ่งส่งผลให้เซตตัวเลขสมบูรณ์ ต่อมามีความพยายามที่จะพัฒนาต่อยอดงานของรีมันน์โดยการศึกษาขนาดของเซตที่ไม่ต่อเนื่องในฟังก์ชันจำนวนจริง

หลังจากนั่นเริ่มมีการพัฒนาการวัดของจอร์ดันและทฤษฎีเซตสามัญรวมไปถึงทฤษฎีบทการแยกประเภทของแบร์ ในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แคลคูลัสได้พัฒนาขึ้นภายใต้สัจพจน์ที่เป็นทฤษฎีเซต เลอเบกแก้ไขปัญหาทฤษฎีเมเชอร์และฮิลแบร์ทได้คิดค้นปริภูมิฮิลแบร์ทเพื่อแก้สมการเชิงปริพันธ์ ปริภูมิเวกเตอร์บรรทัดฐานได้เป็นพื้นฐานให้กับการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันในเวลาต่อมาในช่วง 1920 ผ่านงานของ สเตฟาน บานาค

สาขาย่อย

คณิตวิเคราะห์มีสาขาย่อยหลัก ๆ ดังต่อไปนี้

การวิเคราะห์เชิงจริง

บทความหลัก: การวิเคราะห์เชิงจริง

การวิเคราะห์เชิงซ้อน

บทความหลัก: การวิเคราะห์เชิงซ้อน

สมการเชิงอนุพันธ์

บทความหลัก: สมการเชิงอนุพันธ์

การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

บทความหลัก: การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ทฤษฎีเมเชอร์

บทความหลัก: ทฤษฎีเมเชอร์

การวิเคราะห์เชิงตัวเลข

บทความหลัก: การวิเคราะห์เชิงตัวเลข

นอกจากนี้ยังมีหัวข้ออื่น ๆ ที่เป็นสาขาย่อยของคณิตวิเคราะห์ลงไปอีก ได้แก่

• แคลคูลัสของการแปรผัน
• การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก
• การวิเคราะห์เรขาคณิต
• การวิเคราะห์คลิฟฟอร์ด
• การวิเคราะห์พี-เอดิก
• การวิเคราะห์เชิงไม่มาตรฐาน
• การวิเคราะห์เชิงคำนวณ
• แคลคูลัสสโทแคสติก
• Set-valued analysis
• การวิเคราะห์คอนเวกซ์
• Tropical analysis