ค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ

ในทางคณิตศาสตร์การแปลงเชิงเส้น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (eigenvector) ของการแปลงเชิงเส้นนั้นต้องเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ที่เมื่อนำไปใช้ในการแปลงนั้นจะเปลี่ยนระยะแต่ไม่เปลี่ยนทิศทาง

ในการส่งแบบเฉือน (shear mapping) ของภาพโมนาลิซา รูปถูกทำให้ผิดปกติในในทางแกนแนวยืนกึ่งกลางของมัน (เวกเตอร์สีแดง) ไม่เปลี่ยนทิศทาง แต่เวกเตอร์ทแยงมุม (สีน้ำเงิน) มีการเปลี่ยนทิศทาง ด้วยเหตุนี้เวกเตอร์สีแดงเป็น เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของการแปลง ขณะที่เวกเตอร์สีน้ำเงินนั้นไม่ใช่ เวกเตอร์สีแดงไม่มีการขยายหรือหดตัว ค่าลักษณะเฉพาะ ของมันจึงคือ 1 ทุกเวกเตอร์ที่มีทิศทางในแนวยืนที่เหมือนกัน เช่น ขนานกับเวกเตอร์นี้เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเหมือนกันที่มีค่าลักษณะเฉพาะค่าเดียวกัน พร้อมทั้งเวกเตอร์ศูนย์ จาก ปริภูมิลักษณะเฉพาะ สำหรับค่าลักษณะเฉพาะนี้

สำหรับทุกเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้น จะมีค่าสเกลาร์ที่เรียกว่า ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) สำหรับเวกเตอร์นั้นซึ่งกำหนดผลรวมเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นมาตราส่วนภายใต้การแปลงเชิงเส้น ตัวอย่างเช่น: ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ +2 หมายความว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีความยาวและจุดเป็นเท่าตัวในทิศทางเดิม, ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ +1 หมายความว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะไม่มีการเปลี่ยนแปลง ในขณะที่ค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ −1 หมายความว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะมีทิศทางผันกลับ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ (eigenspace) ของการแปลงที่ให้มาสำหรับค่าลักษณะเฉพาะเฉพาะส่วนเป็นเซต (ผลการแผ่เชิงเส้น (linear span)) ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ความความสัมพันธ์กับค่าลักษณะเฉพาะนี้ พร้อมทั้งเวกเตอร์ศูนย์ (ไม่มีทิศทาง)

ในพีชคณิตเชิงเส้น ทุก ๆ การแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์มิติอันตะ (finite-dimensional vector spaces) สามารถแสดงอยู่ในรูปของเมทริกซ์ ซึ่งเป็นแถวลำดับสี่เหลี่ยมของตัวเลขที่อยู่ในแถวและหลัก วิธีพื้นฐานสำหรับการหา ค่าลักษณะเฉพาะ, เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ปริภูมิลักษณะเฉพาะ ของเมทริกซ์จะกล่าวถึงอยู่ด้านล่าง

มันมีบทบาทหลักในหลาย ๆ สาขาของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ — เป็นส่วนสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น, การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน และเล็กน้อยในคณิตศาสตร์ไม่เป็นเชิงเส้น

วัตถุทางคณิตศาสตร์หลายชนิดสามารถเขียนอยู่ในรูปแบบเวกเตอร์ได้ เช่น ฟังก์ชัน, ฮาร์มอนิก, กลศาสตร์ควอนตัม และความถี่ ในกรณีนี้แนวคิดของ ทิศทาง โดยทั่วไปจะสูญเสียความหมายของมันไป และถูกให้นิยามที่เลื่อนลอย ดังนั้น ทิศทาง ที่ไม่มีตัวตนนี้จะไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลงเชิงเส้นที่ให้มา ถ้าใช้ "ไอเกน (eigen)" นำหน้า อย่างใน ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (eigenfunction), วิธีลักษณะเฉพาะ (eigenmode), สภาวะลักษณะเฉพาะ (eigenstate) และ ความถี่ลักษณะเฉพาะ (eigenfrequency)

ประวัติ

ค่าลักษณะเฉพาะถูกกล่าวถึงบ่อยครั้งในบริบทของพีชคณิตเชิงเส้นหรือทฤษฎีเมทริกซ์ ตามประวัติศาสตร์นั้นเกิดขึ้นมาจากการศึกษารูปแบบกำลังสอง (quadratic form) และสมการเชิงอนุพันธ์

ออยเลอร์ได้ศึกษาการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง (rigid body) และได้ค้นพบความสำคัญของเส้นแกนมุขสำคัญ ดังที่ลากร็องฌ์พิสูจน์ไว้ เส้นแกนมุขสำคัญนั้นเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ความเฉื่อย^[1] ในต้นศตวรรษที่ 19 โอกุสแต็ง หลุยส์ โกชีเห็นว่าวิธีของออยเลอร์และลากร็องฌ์สามารถใช้แยกประเภทผิวกำลังสอง และยังครอบคลุมไปถึงมิติสัมพัทธ์ (arbitrary dimensions)^[2] โคชีสร้างศัพท์ว่า racine caractéristique (รากลักษณะเฉพาะ) สำหรับใช้เรียกสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่า ค่าลักษณะเฉพาะ ศัพท์ของเขานั้นยังมีการใช้อยู่อยู่ในเรื่องสมการลักษณะเฉพาะ (characteristic equation)^[3]

กระบวนการทางจำนวนในการคำนวณหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1929 เมื่อ Von Mises ได้เสนอ power method. และวิธีที่ได้รับความนิยมมากในปัจจุบันคือ QR algorithm ถูกเสนอโดย John G.F. Francis^[4][5] และ Vera Kublanovskaya^[6] ในปี ค.ศ. 1961^[7]

บทนิยาม

สามารถเขียนเป็นสมการข้างล่างได้

${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$

โดยที่ ${\displaystyle A\,\!}$ คือเมทริกซ์มิติ n × n, ${\displaystyle \mathbf {x} }$ คือเวกเตอร์มิติ n × 1, และ ${\displaystyle \lambda \,\!}$ คือสเกลาร์ที่เรียกว่า ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue)

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะซ้ายและขวา

โดยทั่วไปเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนั้นจะหมายถึง เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะขวา ${\displaystyle x_{R}}$ ซึ่งสามารถแสดงได้ดังสมการค่าลักษณะเฉพาะ: ${\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R}}$ ซึ่งเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ใช้กันโดยทั่วไป อย่างไรก็ตาม เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะซ้าย ${\displaystyle x_{L}}$ ก็มีอยู่เช่นกัน และสามารถแสดงได้ดังสมการ: ${\displaystyle x_{L}A=\lambda _{L}x_{L}}$

สมการลักษณะเฉพาะ

เมื่อการแปลงแทนโดยเมทริกซ์จัตุรัส A, สมการค่าลักษณะเฉพาะสามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle A\mathbf {x} -\lambda I\mathbf {x} =\mathbf {0} }$

สามารถจัดใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {x} =\mathbf {0} }$

ถ้าเมทริกซ์ผกผันมีจริงจะได้

${\displaystyle (A\ -\lambda I)^{-1}}$

นำเมทริกซ์ผกผันมาคูณทั้งสองข้างเพื่อให้ได้: x = 0 ดังนั้น เราต้องการให้มันที่ไม่อยู่ในรูปเมทริกซ์ผกผันโดยสมมติจากพีชคณิตเชิงเส้นว่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์:

${\displaystyle \det(A\ -\lambda I)=0}$

ดีเทอร์มิแนนต์ที่ต้องการเรียกว่า สมการลักษณะเฉพาะ (secular equation) ของ A, และด้านซ้ายมือเรียกว่า พหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial) ซึ่งจะให้สมการพหุนามสำหรับหาค่า ${\displaystyle \lambda }$ ส่วนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ x หรือส่วนประกอบของมันไม่แสดงในสมการลักษณะเฉพาะ

ตัวอย่าง

คลิก [แสดง] เพื่อดูตัวอย่างเพิ่มเติม

• ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$ และ ${\displaystyle \lambda =3}$ เป็น คู่ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ค่าลักษณะเฉพาะ ของ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ เพราะว่า ${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}}=3\cdot {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\lambda \mathbf {x} }$

• ${\displaystyle \mathbf {x} =[2;2]}$ และ ${\displaystyle \lambda =6}$, ${\displaystyle \mathbf {x} =[3;3]}$ และ ${\displaystyle \lambda =9}$, ..., ${\displaystyle \mathbf {x} =a\cdot [1;1]}$ และ ${\displaystyle \lambda =3\cdot a}$ (เมื่อ ${\displaystyle a=0}$) ต่างก็เป็นคู่ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ค่าลักษณะเฉพาะ ของ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\2/3\end{bmatrix}}}$ และ ${\displaystyle \lambda =4}$ (รวมถึง ${\displaystyle \mathbf {x} =a\cdot {\begin{bmatrix}1\\2/3\end{bmatrix}}}$ และ ${\displaystyle \lambda =4\cdot a}$ (เมื่อ ${\displaystyle a=0}$) ก็เป็น คู่ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และ ค่าลักษณะเฉพาะของ ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}6&-3\\2&1\\\end{bmatrix}}}$ เช่นกัน

---

เมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}}$

นิยามการแปลงเชิงเส้นของระนาบจำนวนจริง ค่าลักษณะเฉพาะของการแปลงนี้ได้มาโดยสมการลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{bmatrix}}=(2-\lambda )^{2}-1=0}$

รากของสมการนี้คือ ${\displaystyle \lambda =1}$ และ ${\displaystyle \lambda =3}$ เมื่อได้ค่าลักษณะเฉพาะ เราจะสามารถหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะได้ พิจารณาค่าลักษณะเฉพาะ ${\displaystyle \lambda =3}$ จะได้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

แถวทั้งคู่ของสมการเมทริกซ์นี้จะลดรูปเหลือสมการเชิงเส้นเดี่ยว ${\displaystyle x=y}$ ในการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ เราสามารถเลือกค่าอะไรก็ได้มาแทนค่า x, ดังนั้นเลือก x=1 จาก y=x, เราจะได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

เราสามารถตรวจสอบว่าเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหรือไม่โดย :${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}}}$

เมื่อค่าลักษณะเฉพาะ: ${\displaystyle \lambda =1,}$ ทำแบบเดิมจะได้สมการ ${\displaystyle x=-y}$, ดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจะได้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$

ปัญหาจุกจิกในการหาราก/ค่าลักษณะเฉพาะของพหุนามลักษณะเฉพาะ (characteristic polynomial) ที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วในส่วนองศาของพหุนาม (มิติของปริภูมิเวกเตอร์) ที่เพิ่มขึ้น มีวิธีที่เที่ยงตรงสำหรับมิตที่ต่ำกว่า 5 แต่สำหรับมิติที่สูงขึ้นยังไม่มีวิธีที่แน่นอนและมีการอาศัยวิธีทางจำนวนเพื่อหาค่าประมาณ สำหรับเมทริกซ์มากเลขศูนย์ (sparse matrix) สมมาตรขนาดใหญ่ได้ใช้ขั้นตอนวิธี Lanczos คำนวณหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ