จำนวนจินตภาพ

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนจินตภาพ (อังกฤษ: imaginary number) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถเขียนเป็นจำนวนจริงคูณด้วยหน่วยจินตภาพ i^{[note 1]} ซึ่งกำหนดให้ i² = −1^[1][2] รากของจำนวนจินตภาพ bi คือ −b² ตัวอย่างเช่น 5i เป็นจำนวนจินตภาพ และรากของมันคือ −25 ในบทนิยาม ศูนย์เป็นทั้งจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ^[3]

... (ทำรูปแบบซ้ำ จากบริเวณสีน้ำเงิน)

i−3 = i

i−2 = −1

i−1 = −i

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

i5 = i

i6 = −1

in = im เมื่อ m ≡ n mod 4

ผู้คิดค้นจำนวนจินตภาพคนแรกคือเรอเน เดการ์ตในคริสต์ศตวรรษที่ 17^[4] โดยตั้งเป็นคำดูถูกและถือกันว่าไม่มีอยู่จริงหรือไร้ประโยชน์ แนวคิดนี้ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางหลังจากงานตีพิมพ์ของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ในคริสต์ศตวรรษที่ 18) และออกุสแต็ง-ลุยส์ โกชีกับคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (ในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19)

จำนวนจินตภาพ bi สามารถเพิ่มเป็นจำนวนจริง a เพื่อทำให้เกิดจำนวนเชิงซ้อนในรูป a + bi โดยจำนวนจริง a และ b ถูกเรียกตามลำดับว่า ส่วนจริง กับ ส่วนจินตภาพ ของจำนวนเชิงซ้อน^{[5][note 2]}

นิยาม

จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ z อาจเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle z=x+iy\ }$,

โดยที่ ${\displaystyle x\ }$ และ ${\displaystyle y\ }$ เป็น จำนวนจริง (real number) และ ${\displaystyle i\ }$ เป็นหน่วยจินตภาพ (imaginary unit) ซึ่งมีคุณสมบัติตามนิยาม ดังนี้

${\displaystyle i^{2}=-1.\ }$

จำนวน ${\displaystyle x\ }$ นิยามได้จาก

${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)}$

เป็นส่วนจริง (real part) ของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z\ }$, และ ${\displaystyle y\ }$, นิยามได้จาก

${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)}$

เป็นส่วนจินตภาพ (imaginary part) แม้ว่าเดิมนั้นเดการ์ตส์จะใช้คำว่า "จำนวนจินตภาพ" เพื่อหมายถึงสิ่งที่ปัจจุบันนี้รู้จักกันว่า "จำนวนเชิงซ้อน" (complex number) แต่คำว่า "จำนวนจินตภาพ" ในปัจจุบัน ก็มักจะหมายถึงจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเท่ากับ 0 นั่นคือ จำนวนที่อยู่ในรูป i y ศูนย์ (0) เป็นเพียงจำนวนเดียวที่เป็นทั้งจำนวนจริง และจำนวนจินตภาพ

บทแทรก

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\ ,{\dot {a}}}$

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\ ,}$

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\ ,}$

...

เป็นต้น

หมายเหตุ

1. ในด้านวิศวกรรมมักใช้เป็นตัว j ถ้า i มีความหมายอื่น (เช่น กระแสไฟฟ้า)
2. ทั้งส่วนจริงกับส่วนจินตภาพถูกเรียกรวมเป็นจำนวนจริง