ผลคูณคาร์ทีเซียน

ในวิชาคณิตศาสตร์ ผลคูณคาร์ทีเซียน เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับเซตหลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ เซตผลคูณ) นั่นคือสำหรับเซต A และ B ผลคูณคาร์ทีเซียน A × B เป็นเซตของทุกคู่อันดับ (a, b) ที่ a ∈ A และ b ∈ B

ผลคูณคาร์ทีเซียน ${\displaystyle \scriptstyle A\times B}$ ของเซต ${\displaystyle \scriptstyle A=\{x,y,z\}}$ และ ${\displaystyle \scriptstyle B=\{1,2,3\}}$

กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียน คือ จัตุรัสคาร์ทีเซียน ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตารางได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ เซตของแถว กับ เซตของหลัก ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน แถว × หลัก เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ (ค่าของแถว, ค่าของ หลัก)

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต n เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล n มิติ โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ เรอเน เดการ์ต^[1] ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์

ตัวอย่าง

สำรับไพ่

ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือไพ่ป๊อก เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่ {♠, ♥, ♦, ♣} มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ

เลขไพ่ × หน้าไพ่ ทำให้เกิดเซต {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)} หรือ

หน้าไพ่ × เลขไพ่ ทำให้เกิดเซต {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

ระบบพิกัดสองมิติ

ตัวอย่างจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์คือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต X และ Y ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ X × Y ผลคูณนี้เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ X และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ Y (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็นระนาบ x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Y × X โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต Y และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต X ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มีสมบัติการสลับที่

${\displaystyle X\times Y=\{\,(x,y)\mid x\in X\ \land \ y\in Y\,\}}$ ^[2]

${\displaystyle Y\times X=\{\,(y,x)\mid y\in Y\ \land \ x\in X\,\}}$

${\displaystyle X\times Y\neq Y\times X}$

การประยุกต์ใช้ทั่วไปในทฤษฎีเซต

นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$ ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ ${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$ โดย ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่

การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่

ให้ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ และ ${\displaystyle C}$ เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน ${\displaystyle A\times B}$ ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ ${\displaystyle A\times B\neq B\times A}$ เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข ^[3]

• ${\displaystyle A=B}$
• ${\displaystyle A}$เป็นเซตว่าง
• ${\displaystyle B}$เป็นเซตว่าง

เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ

ตัวอย่าง

${\displaystyle A=\{1,2\}}$ และ ${\displaystyle B=\{1,3\}}$

${\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \{1,3\}=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}}$

${\displaystyle B\times A=\{1,3\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(3,1),(3,2)\}}$

${\displaystyle A\times B\neq B\times A}$

${\displaystyle A=B=\{1,2\}}$

${\displaystyle A\times B=B\times A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}}$

${\displaystyle A=\{1,2\}}$ และ ${\displaystyle B=\{\}}$

${\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \{\}=\{\}}$

${\displaystyle B\times A=\{\}\times \{1,2\}=\{\}}$

${\displaystyle A\times B=B\times A}$

ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ

ตัวอย่าง

${\displaystyle A=\{a\}}$ ${\displaystyle B=\{b\}}$ และ ${\displaystyle C=\{c\}}$

${\displaystyle (A\times B)\times C=(\{a\}\times \{b\})\times \{c\}=\{(a,b)\}\times \{c\}=\{((a,b),c)\}}$

${\displaystyle A\times (B\times C)=\{a\}\times (\{b\}\times \{c\})=\{a\}\times \{(b,c)\}=\{(a,(b,c))\}}$

${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$

สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน

ให้ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ และ ${\displaystyle D}$ เป็นเซต

การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

${\displaystyle (A\times C)\cap (B\times D)=(A\cap B)\times (C\cap D)}$^[4]

แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)\neq (A\cup B)\times (C\cup D)}$

${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)}$

มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:^[3]

${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$

${\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)}$

${\displaystyle (A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})}$^[4]

สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:

ถ้า ${\displaystyle A\subseteq B}$ แล้ว ${\displaystyle A\times C\subseteq B\times C}$

ถ้าทั้ง${\displaystyle A}$และ${\displaystyle B}$ ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว ${\displaystyle (A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D)}$^[5]

ภาวะเชิงการนับ

ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต ${\displaystyle A=\{m,n\}}$ และ ${\displaystyle B=\{0,1\}}$ ทั้งเซต ${\displaystyle A}$ และเซต ${\displaystyle B}$ ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย ${\displaystyle A\times B}$ เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:

${\displaystyle A\times B=\{(m,0),(m,1),(n,0),(n,1)\}}$

สมาชิกแต่ละตัวของ ${\displaystyle A}$ จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ ${\displaystyle B}$ แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์ จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2 ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ

${\displaystyle |A\times B|=|A||B|}$

และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า

${\displaystyle |A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times ...\times A_{n}|=|A_{1}||A_{2}||A_{3}|...|A_{n}|}$

ภาวะเชิงการนับของ ${\displaystyle A\times B}$ เป็นอนันต์ถ้าเซต ${\displaystyle A}$ หรือเซต ${\displaystyle B}$ เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง^[6]

จัตุรัสคาร์ทีเซียนและกำลังคาร์ทีเซียน

จัตุรัสคาร์ทีเซียน (หรือ ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่) ของเซต X คือผลคูณคาร์ทีเซียน X² = X × X ตัวอย่างคือระนาบ R² = R × R เมื่อ R เป็นเซตของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงทุกจุด(x,y) ที่ x และ y เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)