ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (อังกฤษ: prime-counting function) มีค่าเท่ากับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนจริง x หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะเป็นฟังก์ชันที่หาว่า x เป็นจำนวนเฉพาะลำดับที่เท่าไร เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ π(x)

ค่า π(n) สำหรับจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 60

ประวัติศาสตร์

หัวข้อที่เป็นที่สนใจอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนคืออัตราการเจริญเติบโต ของฟังก์ชันการนับจำนวนเฉพาะ^[1][2] ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 18 คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ และโดยอาดรีแย็ง-มารี เลอฌ็องดร์ เสนอว่าข้อความคาดการณ์ว่า π(x) จะมีค่าใกล้เคียงกลับ

${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$

เมื่อฟังก์ชันลอการิทึมข้างต้นเป็นฟังก์ชันลอการิทึมฐานธรรมชาติ ในความหมายที่ว่า

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1}$

ข้อความข้างต้นรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ (prime number theorem) โดยสมมูลกันกับ

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1}$

เมื่อ li(x) คือฟังก์ชันอินทิกรัลลอการิทึม ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะพิสูจน์ได้ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1896 โดย ฌัก อาดามาร์ และโดย ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง อย่างอิสระต่อกัน โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันซีตาของรีมันที่ แบร์นฮาร์ท รีมัน เสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1859 บทพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ไม่ใช้ฟังก์ชันซีตาหรือไม่ใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนมีขึ้นในราวปี ค.ศ. 1948 โดย อัตเลอ เซลแบรก์ และโดย พอล แอร์ดิช (โดยงานเกือบทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน)^[3]

ในปี ค.ศ. 1899 ชาร์ล เดอ ลา วัลเล-ปูแซ็ง ได้พิสูจน์ว่า^{[4]: ทฤษฎีบท 23}

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$

สำหรับค่าคงที่บวก a บางจำนวน โดยที่ O(...) คือ สัญกรณ์โอใหญ่

ตอนนี้ทราบค่าประมาณของ ${\displaystyle \pi (x)\!}$ ที่แม่นยำยิ่งขึ้นแล้ว ตัวอย่างเช่น ในปี ค.ศ. 2002 เควิน ฟอร์ด ได้พิสูจน์ว่า^[5]

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right)}$

จากการพิสูจน์ของ Mossinghoff และ Trudgian^[6] ขอบเขตบนชัดแจ้งสำหรับผลต่างระหว่างฟังก์ชัน ${\displaystyle \pi (x)}$ และ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ เป็นไปตามสมการ

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)}$

สำหรับ ${\displaystyle x\geq 229}$

สำหรับค่าส่วนใหญ่ของ ${\displaystyle x}$ ที่เราสนใจ (เช่น เมื่อ ${\displaystyle x}$ ไม่มีค่ามากเกินไป) ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ จะมีค่ามากกว่า ${\displaystyle \pi (x)}$ อย่างไรก็ตามฟังก์ชัน ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ เป็นที่ทราบกันว่ากลับค่าระหว่างบวกและลบเป็นอนันต์ครั้ง สำหรับการพิจารณาในเรื่องนี้ โปรดดูที่ จำนวนสกีว

รูปแบบแม่นตรง

สำหรับ ${\displaystyle x>1}$ ให้ ${\displaystyle \pi _{0}(x)=\pi (x)-1/2}$ เมื่อ ${\displaystyle x}$ เป็นจำนวนเฉพาะ มิฉะนั้นแล้ว ${\displaystyle \pi _{0}(x)=\pi (x)}$ บทพิสูจน์ของแบร์นฮาร์ท รีมันที่มีความสำคัญอย่างยิ่งคือการพิสูจน์ค่าสมมูลกับ ${\displaystyle \pi _{0}(x)}$^[7]

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })}$

เมื่อ

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})}$

โดยที่ μ(n) คือ ฟังก์ชันเมอบิอุส, li(x) คือ ฟังก์ชันปริพันธ์ลอการิทึม, ρ เป็นดรรชีสำหรับทุกรากของฟังก์ชันซีตาของรีมัน และ li(x^ρ/n) ไม่ได้หาค่าจากการสร้าง branch cut แต่หาค่าจาก Ei(ρ/n log x) โดยที่ Ei(x) คือฟังก์ชันปริพันธ์เลขชี้กำลัง

ถ้าหากไม่พิจารณารากชัดแจ้งของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ และพิจารณาผลรวมจากรากที่ไม่ชัดแจ้ง แล้ว ${\displaystyle \pi _{0}(x)}$ สามารถประมาณค่าได้โดย^[8]

${\displaystyle \pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.}$

สมมติฐานของรีมันน์เสนอว่าทุกรากที่ไม่ใช่รากชัดแจ้งจะสอดคล้องกับ Re(s) = 1/2

ตารางของ π(x), x / log x และ li(x)

ตารางแสดงฟังก์ชัน π(x), x / log x และ li(x) เปรียบเทียบที่ตัวแปร x ยกกำลัง 10 ดูเพิ่มเติม^[1][9] และ^[10]

x	π(x)	π(x) − x / log x	li(x) − π(x)	x / π(x)	x / log x  % Error
10	4	0	2	2.500	−8.57%
102	25	3	5	4.000	13.14%
103	168	23	10	5.952	13.83%
104	1,229	143	17	8.137	11.66%
105	9,592	906	38	10.425	9.45%
106	78,498	6,116	130	12.739	7.79%
107	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
108	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	2.63%
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	2.34%
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	2.22%
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	1.58%
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	1.52%