เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

ในคณิตศาสตร์ เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (อังกฤษ: unit vector^[1], สเปน: Vector unitario^[2], จีน: 单位向量^[3], มลายู: Vektor satuan^[4]) คือ เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ 1 เวกเตอร์หนึ่งหน่วยมักเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ "หมวก (^)" กำกับไว้บนตัวอักษร เช่น ${\displaystyle {\hat {i}}}$^[1]

ในปริภูมิแบบยุคลิด ผลคูณจุดของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสองเวกเตอร์มีค่าเท่ากับค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง โดยมีเหตุมาจากหลักการ dot ของเวกเตอร์ที่เขียนเป็นสมการได้ดังนี้ a ⋅ b=|a||b| cosθ ^[5] เมื่อ เวกเตอร์ที่มีทั้ง 2 มีเท่าขนาดกับ 1 ทั้งคู่ทำให้ ผล dot ของเวกเตอร์ทั้ง 2 นี้เท่ากับ 1*1 cosθ ซึ่งก็คือ โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองนั่นเอง

อนึ่ง เมื่อ ${\displaystyle u}$ เป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์ใด ๆ เรานิยาม เวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ ${\displaystyle u}$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle {\hat {u}}}$ ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับ ${\displaystyle u}$ และมีความยาวเท่ากับ 1 กล่าวคือ

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}}$^[1][2]

เพื่อความสะดวก เรามักจะกำหนดให้สมาชิกของฐานหลักต่าง ๆ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 3 มิติ ฐานหลักที่นิยมใช้คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสามเวกเตอร์ที่มีทิศทางตามแกน ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, และ ${\displaystyle z}$ ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle {\hat {i}}}$, ${\displaystyle {\hat {j}}}$, และ ${\displaystyle {\hat {k}}}$ ตามลำดับ กล่าวคือ

${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

อย่างไรก็ดี สัญลักษณ์ ${\displaystyle \mathbf {i} }$, ${\displaystyle \mathbf {j} }$, และ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ เป็นที่นิยมใช้แทนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยสามเวกเตอร์ข้างต้นมากกว่า^[6]

ในระบบพิกัดอื่น ๆ เช่น พิกัดเชิงขั้ว หรือพิกัดทรงกลม จะใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่แตกต่างกันไป

ประวัติศาสตร์ของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยถูกคิดค้นโดย เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (Sir William Rowan Hamilton) นักคณิตศาสตร์ชาวไอริช โดยเขาได้คิดทฤษฎีควอเทอร์เนียน (theory of quaternions) ขึ้นในขณะที่เขาอายุ 22 ปี ทฤษฎีควอเทอร์เนียนนี้เป็นเครื่องมือสำหรับแก้ไขปัญหาทางเรขาคณิตสามมิติ แนวคิดต่างๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์เวกเตอร์ล้วนแต่มีจุดกำเนิดมาจากงานเขียนเกี่ยวกับควอเทอร์เนียนของแฮมิลตัน^[7]

ภาพแสดงเซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตันนักคณิตศาสตร์ชาวไอริช